קיץ 2025 · מועד א

מציבים $z = x + iy$. אגף שמאל: $\;|z| = |x + iy| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

אגף ימין: $\;z - (2 + 2i) = (x - 2) + (y - 2)i$, ולכן $\;|z - (2 + 2i)| = \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 2)^2}$.

מהתנאי $|z| = |z - (2 + 2i)|$: $\;\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 2)^2}$.

מעלים בריבוע: $\;x^2 + y^2 = (x - 2)^2 + (y - 2)^2$.

מפתחים את אגף ימין: $\;x^2 + y^2 = x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4$.

מצמצמים $x^2$ ו-$y^2$: $\;0 = -4x - 4y + 8$.

מחלקים ב-$-4$: $\;x + y - 2 = 0$.

פותרים את המשוואה $z^2 - z(2 + 2i) + 4i = 0$ עם $a = 1$, $b = -(2 + 2i)$, $c = 4i$.

הדיסקרימיננטה: $\;\Delta = b^2 - 4ac = [-(2 + 2i)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4i = (2 + 2i)^2 - 16i$.

מחשבים $(2 + 2i)^2 = 4 + 8i + 4i^2 = 4 + 8i - 4 = 8i$.

לכן $\;\Delta = 8i - 16i = -8i$.

מחלצים שורש: מחפשים $x + yi$ כך ש-$(x + yi)^2 = -8i$, כלומר $\;x^2 - y^2 + 2xyi = -8i$.

משווים חלקים: $\;x^2 - y^2 = 0$ וגם $2xy = -8$.

מ-$x^2 = y^2$ ומ-$xy = -4$: מציבים $y = -\dfrac{4}{x}$ ב-$x^2 = y^2$: $\;x^2 = \dfrac{16}{x^2} \Rightarrow x^4 = 16 \Rightarrow x^2 = 4$.

מקבלים $x = \pm 2$, ובהתאם $y = \mp 2$, ולכן $\;\sqrt{\Delta} = \pm(2 - 2i)$.

מציבים בנוסחת השורשים: $\;z_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{(2 + 2i) \pm (2 - 2i)}{2}$.

$z_1 = \dfrac{(2 + 2i) + (2 - 2i)}{2} = \dfrac{4}{2} = 2$, ולכן זו הנקודה $B(2, 0)$.

$z_2 = \dfrac{(2 + 2i) - (2 - 2i)}{2} = \dfrac{4i}{2} = 2i$, ולכן זו הנקודה $A(0, 2)$.

בודקים על המקום $x + y - 2 = 0$: עבור $B(2, 0)$ מתקבל $\;2 + 0 - 2 = 0$ — מתקיים.

עבור $A(0, 2)$ מתקבל $\;0 + 2 - 2 = 0$ — מתקיים. לכן שתי הנקודות על המקום הגאומטרי מסעיף א.

מסעיף ב: $A(0, 2)$ ו-$B(2, 0)$, ושתיהן במרחק $2$ מהראשית (על מעגל $|z| = 2$).

הנקודות $C$ ו-$D$ על הצירים ומשלימות את הריבוע $ABCD$; מסימטריית הריבוע סביב הראשית: $C(0, -2)$ ו-$D(-2, 0)$.

ארבעת הקודקודים נמצאים על מעגל $|z| = 2$ בזוויות $0°, 90°, 180°, 270°$ — כלומר במרווחים שווים של $90°$.

הסיבוב בזווית $\alpha$ מוסיף ארבע נקודות באותו מרחק מהראשית, בזוויות $\alpha,\ 90° + \alpha,\ 180° + \alpha,\ 270° + \alpha$.

פתרונות המשוואה $z^n = b$ (עם $b$ ממשי) הם $n$ נקודות הפרושות במרווחים שווים של $\frac{360°}{n}$ על מעגל אחד.

עבור $n = 8$ המרווח הוא $\;\frac{360°}{8} = 45°$, ולכן שמונה הנקודות חייבות להיות שוות-מרווח של $45°$.

הקבוצה המקורית במרווחי $90°$; כדי שיחד עם המסובבת יתקבלו מרווחים שווים של $45°$, הסיבוב חייב למקם כל נקודה חדשה בדיוק באמצע — כלומר $\;\alpha = 45°$.

הרדיוס של כל הנקודות הוא $2$, ולכן $\;|b| = |z|^8 = 2^8 = 256$.

הנקודה $B$ מייצגת את $z = 2$ (ממשי חיובי, זווית $0°$) והיא פתרון, ולכן $\;b = 2^8 = 256$ (ממשי חיובי).

עבור $\alpha = 15°$ שמונה הנקודות נמצאות בזוויות $0°, 90°, 180°, 270°$ (המקוריות) ו-$15°, 105°, 195°, 285°$ (המסובבות).

הזוויות אינן במרווחים שווים (המרווחים מתחלפים בין $15°$ ל-$75°$), ולכן הן אינן יכולות להיות כל פתרונות $z^n = b$ עבור $n = 8$ — הן חייבות להיות חלק מקבוצה גדולה יותר של נקודות שוות-מרווח.

פתרונות $z^n = b$ פרושים במרווחי $\frac{360°}{n}$. כדי שכל שמונה הזוויות יהיו ביניהן, $\frac{360°}{n}$ חייב לחלק את כל הזוויות.

כל הזוויות הן כפולות של $15°$ (וההפרש $15°$ אכן מופיע, בין $0°$ ל-$15°$), ולכן המרווח הגדול ביותר האפשרי הוא $\;\frac{360°}{n} = 15°$.

מכאן הערך המינימלי: $\;n = \frac{360°}{15°} = 24$.

בדיקה: פתרונות $z^{24} = b$ נמצאים בזוויות $0°, 15°, 30°, \ldots, 345°$, וכל שמונה הנקודות (בזוויות $0, 15, 90, 105, 180, 195, 270, 285$) אכן ביניהן.

הרדיוס הוא $2$, והנקודה $z = 2$ (זווית $0°$) פתרון, ולכן $\;b = 2^{24}$ (ממשי חיובי).