קיץ 2025 · מועד א

מפרקים את $\vec{SM}$ דרך הנקודה $A$: $\;\vec{SM} = \vec{SA} + \vec{AM}$.

$\vec{SA}$ הוא הנגדי של $\vec{AS} = \vec{w}$, ולכן $\;\vec{SA} = -\vec{w}$.

במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה, ולכן $M$ (אמצע $BD$) הוא גם אמצע $AC$. מכאן $\;\vec{AM} = \tfrac{1}{2}\vec{AC}$.

מבטאים את האלכסון: $\;\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$. במקבילית $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{v}$, ולכן $\;\vec{AC} = \vec{u} + \vec{v}$.

מציבים: $\;\vec{AM} = \tfrac{1}{2}(\vec{u} + \vec{v})$.

מחברים: $\;\vec{SM} = \vec{SA} + \vec{AM} = -\vec{w} + \tfrac{1}{2}(\vec{u} + \vec{v})$.

מסדרים: $\;\vec{SM} = \tfrac{1}{2}\vec{u} + \tfrac{1}{2}\vec{v} - \vec{w}$.

נתון ש-$\vec{SM} \perp \vec{DB}$, ולכן המכפלה הסקלרית ביניהם מתאפסת: $\;\vec{SM} \cdot \vec{DB} = 0$.

מסעיף א: $\;\vec{SM} = \tfrac{1}{2}\vec{u} + \tfrac{1}{2}\vec{v} - \vec{w}$.

מבטאים את $\vec{DB}$: $\;\vec{DB} = \vec{DA} + \vec{AB} = -\vec{v} + \vec{u} = \vec{u} - \vec{v}$.

מכיוון ש-$SA$ הוא גובה הפירמידה, $\vec{w} = \vec{AS}$ מאונך לבסיס, ולכן $\;\vec{w} \cdot \vec{u} = 0$ וגם $\vec{w} \cdot \vec{v} = 0$.

מציבים: $\;\left(\tfrac{1}{2}\vec{u} + \tfrac{1}{2}\vec{v} - \vec{w}\right) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = 0$.

פותחים סוגריים: $\;\tfrac{1}{2}\vec{u}\cdot\vec{u} - \tfrac{1}{2}\vec{u}\cdot\vec{v} + \tfrac{1}{2}\vec{v}\cdot\vec{u} - \tfrac{1}{2}\vec{v}\cdot\vec{v} - \vec{w}\cdot\vec{u} + \vec{w}\cdot\vec{v} = 0$.

האיברים $-\tfrac{1}{2}\vec{u}\cdot\vec{v}$ ו-$+\tfrac{1}{2}\vec{v}\cdot\vec{u}$ מצטמצמים (כי $\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u}$), והאיברים $\vec{w}\cdot\vec{u}$ ו-$\vec{w}\cdot\vec{v}$ מתאפסים.

נשאר: $\;\tfrac{1}{2}\vec{u}\cdot\vec{u} - \tfrac{1}{2}\vec{v}\cdot\vec{v} = 0$, כלומר $\;\tfrac{1}{2}|\vec{u}|^2 = \tfrac{1}{2}|\vec{v}|^2$.

מכאן $\;|\vec{u}|^2 = |\vec{v}|^2$, ומכיוון שאורך אינו שלילי: $\;|\vec{u}| = |\vec{v}|$.

מחשבים את הווקטורים מהנקודה $A(0,0,0)$: $\;\vec{u} = \vec{AB} = B - A = (0, 10, 0)$.

מסעיף ב ידוע ש-$|\vec{u}| = |\vec{v}|$, ולכן $\;|(0, 10, 0)| = |(6, p, 0)|$.

מחשבים את הגדלים: $\;\sqrt{0^2 + 10^2 + 0^2} = \sqrt{6^2 + p^2 + 0^2}$, כלומר $\;\sqrt{100} = \sqrt{36 + p^2}$.

מעלים בריבוע: $\;100 = 36 + p^2$.

מבודדים: $\;p^2 = 64 \Rightarrow p = \pm 8$. מכיוון ש-$p > 0$: $\;p = 8$, ולכן $\;D(6, 8, 0)$.

מוצאים את $C$: במקבילית $ABCD$ מתקיים $\;\vec{BC} = \vec{AD} = (6, 8, 0)$.

לכן $\;C = B + \vec{BC} = (0, 10, 0) + (6, 8, 0) = (6, 18, 0)$.

המישור מכיל את האלכסון $AC$ ומקביל למקצוע $SD$. הנורמל $\vec{n}$ של המישור מאונך לשני הכיוונים האלה.

וקטור הכיוון של $AC$: $\;\vec{AC} = C - A = (6, 18, 0)$, ובצמצום $\;(1, 3, 0)$.

וקטור הכיוון של $SD$: $\;\vec{SD} = D - S = (6, 8, 0) - (0, 0, 12) = (6, 8, -12)$, ובצמצום $\;(3, 4, -6)$.

נסמן $\vec{n} = (a, b, c)$. תנאי $\vec{n} \perp \vec{AC}$: $\;a + 3b = 0 \Rightarrow a = -3b$.

תנאי $\vec{n} \perp \vec{SD}$: $\;3a + 4b - 6c = 0$.

מציבים $a = -3b$: $\;3(-3b) + 4b - 6c = 0 \Rightarrow -5b = 6c \Rightarrow b = -\tfrac{6}{5}c$.

בוחרים $c = 5$: $\;b = -6$, $\;a = -3b = 18$, ולכן $\;\vec{n} = (18, -6, 5)$.

משוואת המישור: $\;18x - 6y + 5z + d = 0$. מציבים את $A(0, 0, 0)$ ומקבלים $\;d = 0$.

נמצא את $K$ — חיתוך המישור עם המקצוע $SB$. הצגה פרמטרית של $SB$ דרך $B$: $\;\underline{x} = B + t(B - S) = (0, 10, 0) + t(0, 10, -12) = (0,\ 10 + 10t,\ -12t)$.

מציבים במשוואת המישור $18x - 6y + 5z = 0$: $\;18 \cdot 0 - 6(10 + 10t) + 5(-12t) = 0$.

מפשטים: $\;-60 - 60t - 60t = 0 \Rightarrow -120t = 60 \Rightarrow t = -\tfrac{1}{2}$.

מציבים $t = -\tfrac{1}{2}$: $\;K = (0,\ 10 - 5,\ 6) = (0, 5, 6)$.

הנקודה $M$ היא אמצע $BD$ (וגם אמצע $AC$): $\;M = \left(\tfrac{0 + 6}{2},\ \tfrac{0 + 18}{2},\ 0\right) = (3, 9, 0)$.

וקטור הכיוון של $KM$: $\;\vec{KM} = M - K = (3, 9, 0) - (0, 5, 6) = (3, 4, -6)$.

וקטור הכיוון של $SD$: $\;\vec{SD} = (6, 8, -12) = 2 \cdot (3, 4, -6) = 2\,\vec{KM}$.

הווקטורים $\vec{KM}$ ו-$\vec{SD}$ מקבילים (כפולה זה של זה), ו-$K$ אינה מונחת על $SD$, ולכן הישרים מקבילים.

המישור $ACK$ הוא המישור שמצאנו בסעיף ד: הנקודות $A$ ו-$C$ עליו לפי הבנייה, וגם $K(0,5,6)$ עליו, שכן $\;18 \cdot 0 - 6 \cdot 5 + 5 \cdot 6 = -30 + 30 = 0$.

מישור זה נבנה כך שהוא מקביל ל-$SD$, ולכן הנורמל שלו $\vec{n} = (18, -6, 5)$ מאונך ל-$SD$.

בדיקה: $\;\vec{n} \cdot \vec{SD} = (18)(6) + (-6)(8) + (5)(-12) = 108 - 48 - 60 = 0$ — אכן מאונכים.

כל ישר המאונך למישור $ACK$ מקביל לנורמל $\vec{n}$.

מכיוון ש-$\vec{n} \perp \vec{SD}$, גם כל ישר המקביל ל-$\vec{n}$ מאונך ל-$SD$.