קיץ 2024 · מועד א

נגזור לפי כלל המכפלה, עם $u = x$ ו-$v = (\ln x)^2 - 2\ln x + 2$.

נשווה לאפס: $\;f'(x) = (\ln x)^2 = 0 \Rightarrow \ln x = 0 \Rightarrow x = 1$.

$f'(x) = (\ln x)^2$ הוא ריבוע, ולכן $f'(x) \ge 0$ לכל $x > 0$, והוא מתאפס רק ב-$x = 1$.

המסקנה: הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה $x > 0$, ואין תחום ירידה. ב-$x = 1$ יש משיק אופקי, אך זו אינה נקודת קיצון (הפונקציה ממשיכה לעלות).

נגזור את $f'(x) = (\ln x)^2$: $\;f''(x) = 2\ln x \cdot \dfrac{1}{x} = \dfrac{2\ln x}{x}$.

נשווה לאפס: $\;\dfrac{2\ln x}{x} = 0 \Rightarrow \ln x = 0 \Rightarrow x = 1$.

משמאל ל-$1$ ($\ln x < 0$) הקעירות כלפי מטה, ומימין ($\ln x > 0$) כלפי מעלה — יש שינוי קעירות, ולכן $x = 1$ נקודת פיתול.

נחשב את שיעור ה-$y$: $\;f(1) = 1\cdot\big((\ln 1)^2 - 2\ln 1 + 2\big) = 1\cdot(0 - 0 + 2) = 2$.

נפתור $\;f(x) = x\big((\ln x)^2 - 2\ln x + 2\big) = 0$.

מכיוון ש-$x > 0$, הגורם $x$ חיובי ואינו מתאפס — צריך לבדוק את הגורם השני.

נציב $t = \ln x$: $\;t^2 - 2t + 2 = 0$, דיסקרימיננטה $\;(-2)^2 - 4\cdot1\cdot2 = 4 - 8 = -4 < 0$ — אין פתרון.

לכן $(\ln x)^2 - 2\ln x + 2 > 0$ לכל $x$ (פרבולה נפתחת כלפי מעלה ללא שורשים), ומכפלתה ב-$x > 0$ חיובית.

מסקנה: אין נקודות חיתוך עם ציר $x$, והפונקציה חיובית בכל תחום הגדרתה.

מסעיף א: עולה לכל $x > 0$ (משיק אופקי ב-$x = 1$). מסעיף ב: פיתול $\left(1, 2\right)$ (קעורה מטה ואז מעלה). מסעיף ג: חיובית תמיד.

התנהגות בקצה: $\;\lim\limits_{x\to 0^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 0^+} x\big((\ln x)^2 - 2\ln x + 2\big) = 0$ (הגורם $x$ מכריע), ולכן הגרף יוצא מהראשית.

ל-$x \to \infty$ הפונקציה שואפת ל-$+\infty$.

התוצאה: עקומה עולה מהראשית, שטוחה סביב הפיתול $\left(1, 2\right)$, וממשיכה לעלות בתלילות גוברת.

$f'(x) = (\ln x)^2$ — ריבוע, ולכן אינו שלילי; המינימום $0$ מתקבל ב-$x = 1$, בנקודה $\left(1, 0\right)$.

$\lim\limits_{x\to 0^+} f'(x) = +\infty$ (כי $\ln x \to -\infty$), וגם $\lim\limits_{x\to\infty} f'(x) = +\infty$.

הגרף יורד מ-$+\infty$ אל המינימום $\left(1, 0\right)$ הנוגע בציר, ואז עולה חזרה אל $+\infty$.

נמצא את נקודות החיתוך עם ציר $x$: $\;(\ln x)^2 - 9 = 0 \Rightarrow (\ln x)^2 = 9 \Rightarrow \ln x = \pm 3$.

$x = e^{-3}$ או $x = e^{3}$.

בין החיתוכים $g$ שלילית ($g(1) = 0 - 9 = -9 < 0$), ולכן השטח הוא $\;S_1 = -\displaystyle\int_{e^{-3}}^{e^{3}} g(x)\,dx$.

מסעיף א ראינו $f'(x) = (\ln x)^2$, כלומר $f$ היא פונקציה קדומה של $(\ln x)^2$. לכן קדומה של $g$ היא $\;f(x) - 9x$.

נכתוב במפורש: $\;f(x) - 9x = x\big((\ln x)^2 - 2\ln x + 2\big) - 9x = x\big((\ln x)^2 - 2\ln x - 7\big)$.

הצבה ב-$x = e^{3}$ ($\ln = 3$): $\;e^{3}\big(9 - 6 - 7\big) = -4e^{3}$.

הצבה ב-$x = e^{-3}$ ($\ln = -3$): $\;e^{-3}\big(9 + 6 - 7\big) = 8e^{-3}$.

מספרית: $\;S_1 \approx 4\cdot 20.09 + 8\cdot 0.0498 \approx 80.74$.

נפשט את $h$: $\;h(x) = \dfrac{f(x)}{x^2} = \dfrac{x\big((\ln x)^2 - 2\ln x + 2\big)}{x^2} = \dfrac{(\ln x)^2 - 2\ln x + 2}{x}$.

המונה $(\ln x)^2 - 2\ln x + 2 > 0$ תמיד (מסעיף ג) ו-$x > 0$, ולכן $h(x) > 0$ — הגרף כולו מעל ציר ה-$x$.

האנכים עוברים בנקודות החיתוך של $g$: $\;x = e^{-3}$ ו-$x = e^{3}$. בקטע זה $g$ מתחת לציר ו-$h$ מעליו, לכן השטח הכולל הוא $\;S = S_1 + S_2$, כאשר $S_2 = \displaystyle\int_{e^{-3}}^{e^{3}} h(x)\,dx$.

נפרק את $h$ לאיברים: $\;h(x) = \dfrac{(\ln x)^2}{x} - 2\cdot\dfrac{\ln x}{x} + \dfrac{2}{x}$.

נמצא קדומה (לפי $\int\frac{(\ln x)^n}{x}dx = \frac{(\ln x)^{n+1}}{n+1}$): $\;H(x) = \dfrac{(\ln x)^3}{3} - (\ln x)^2 + 2\ln x$.

הצבה ב-$x = e^{3}$ ($\ln = 3$): $\;\dfrac{27}{3} - 9 + 6 = 6$.

הצבה ב-$x = e^{-3}$ ($\ln = -3$): $\;\dfrac{-27}{3} - 9 - 6 = -24$.

סה"כ: $\;S = S_1 + S_2 = \big(4e^{3} + 8e^{-3}\big) + 30 \approx 80.74 + 30 = 110.74$.