קיץ 2024 · מועד א

תחום ההגדרה נקבע על-ידי המכנה, שאסור לו להתאפס: $\;(e^x - 4)^2 \ne 0$.

$(e^x - 4)^2 = 0$ כלומר $e^x - 4 = 0$

לכן יש לפסול את הערך $x = \ln 4$.

אסימפטוטה אנכית: במקום שבו המכנה מתאפס והמונה לא. ב-$x = \ln 4$ המכנה מתאפס, והמונה $\;e^{\ln 4} - b = 4 - b \ne 0$ (כי $b \ne 4$).

לכן $x = \ln 4$ היא אסימפטוטה אנכית.

אסימפטוטה אופקית ב-$+\infty$: נחלק מונה ומכנה בחזקה הגבוהה $e^{2x}$ (שהרי $(e^x-4)^2 = e^{2x} - 8e^x + 16$):

כאשר $x \to \infty$ המונה $\to 0$ והמכנה $\to 1$, ולכן $\;\lim\limits_{x \to \infty} f(x) = \dfrac{0}{1} = 0$. אסימפטוטה $y = 0$.

אסימפטוטה אופקית ב-$-\infty$: כאן $e^x \to 0$, ולכן $\;\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = \dfrac{0 - b}{(0 - 4)^2} = \dfrac{-b}{16}$. אסימפטוטה $y = -\dfrac{b}{16}$.

חיתוך עם ציר $y$ — נציב $x = 0$: $\;f(0) = \dfrac{e^0 - b}{(e^0 - 4)^2} = \dfrac{1 - b}{(1 - 4)^2} = \dfrac{1 - b}{9}$.

נקודת החיתוך עם ציר $y$: $\left(0,\ \dfrac{1 - b}{9}\right)$.

חיתוך עם ציר $x$ — נאפס את המונה: $\;e^x - b = 0$, כלומר $e^x = b$.

מכיוון ש-$b > 0$, יש פתרון $\;x = \ln b$.

נקודת החיתוך עם ציר $x$: $\left(\ln b,\ 0\right)$.

נגזור לפי כלל המנה את $f = \dfrac{e^x - b}{(e^x - 4)^2}$:

נוציא במונה גורם משותף $e^x(e^x - 4)$:

נצמצם $(e^x - 4)$:

נפשט את הסוגריים: $\;(e^x - 4) - 2(e^x - b) = e^x - 4 - 2e^x + 2b = 2b - 4 - e^x$.

לכן $\;f'(x) = \dfrac{e^x\,(2b - 4 - e^x)}{(e^x - 4)^3}$.

בנקודת קיצון $f'(x) = 0$. מכיוון ש-$e^x > 0$ והמכנה שונה מ-$0$, נדרש $\;2b - 4 - e^x = 0$, כלומר $e^x = 2b - 4$.

נתון שהקיצון ב-$x = \ln 12$, ולכן $\;e^{\ln 12} = 12 = 2b - 4$.

סוג הקיצון: נציב $b = 8$, ואז $\;f'(x) = \dfrac{e^x\,(12 - e^x)}{(e^x - 4)^3}$. נבנה טבלת סימנים (זכרו $\ln 4 < \ln 12$, ו-$\ln 4$ מחוץ לתחום):

משמאל ל-$\ln 12$ (בקטע $\ln 4 < x < \ln 12$): $12 - e^x > 0$ והמכנה $(e^x - 4)^3 > 0$, לכן $f' > 0$ — עולה.

מימין ל-$\ln 12$: $12 - e^x < 0$, לכן $f' < 0$ — יורדת.

הנגזרת עוברת מ-$+$ ל-$-$, ולכן $x = \ln 12$ היא נקודת מקסימום. ערך המקסימום: $\;f(\ln 12) = \dfrac{12 - 8}{(12 - 4)^2} = \dfrac{4}{64} = \dfrac{1}{16}$.

$g = \dfrac{1}{f}$ מוגדרת כאשר $f$ מוגדרת וגם $f(x) \ne 0$.

תנאי ש-$f$ מוגדרת: $\;x \ne \ln 4$ (המכנה $(e^x - 4)^2 \ne 0$).

תנאי $f \ne 0$: המונה $\;e^x - 8 \ne 0$, כלומר $x \ne \ln 8$.

מאחדים את שני התנאים.

נוח לכתוב $\;g(x) = \dfrac{1}{f(x)} = \dfrac{(e^x - 4)^2}{e^x - 8}$.

אסימפטוטה אנכית — היכן ש-$f = 0$, כלומר $x = \ln 8$; שם המכנה של $g$ מתאפס והמונה $\;(8 - 4)^2 = 16 \ne 0$. לכן $x = \ln 8$ אסימפטוטה אנכית.

אסימפטוטות אופקיות — נשתמש בגבולות של $f$ (עם $b = 8$: $\;f \to 0$ ב-$+\infty$, $\;f \to -\frac{8}{16} = -\frac{1}{2}$ ב-$-\infty$).

ב-$-\infty$: $\;\lim\limits_{x \to -\infty} g(x) = \dfrac{1}{f} \to \dfrac{1}{-\frac{1}{2}} = -2$. אסימפטוטה $y = -2$.

ב-$+\infty$: $\;f \to 0^{+}$, ולכן $g = \dfrac{1}{f} \to +\infty$ — אין אסימפטוטה אופקית מצד ימין.

הערה: ב-$x = \ln 4$ מתקיים $f \to -\infty$, ולכן $g \to 0$ — זו נקודה חסרה (חור) בגרף, לא אסימפטוטה.

עבור $f$: תחום $x \ne \ln 4$; אסימפטוטות $x = \ln 4$, $y = -\frac{1}{2}$ (משמאל), $y = 0$ (מימין); חיתוך ציר $x$ ב-$\left(\ln 8, 0\right)$; מקסימום ב-$\left(\ln 12, \frac{1}{16}\right)$.

ענף שמאלי של $f$ ($x < \ln 4$): יורד מ-$y = -\frac{1}{2}$ (ב-$-\infty$) אל $-\infty$ (ליד $\ln 4$), עובר דרך $\left(0, -\frac{7}{9}\right)$.

ענף ימני של $f$ ($x > \ln 4$): עולה מ-$-\infty$, חוצה את ציר $x$ ב-$\ln 8$, מגיע למקסימום ב-$\ln 12$, ואז יורד ושואף ל-$0^{+}$.

עבור $g = \frac{1}{f}$: תחום $x \ne \ln 4, \ln 8$; אסימפטוטות $x = \ln 8$, $y = -2$ (משמאל); חור ב-$\left(\ln 4, 0\right)$.

ענף שמאלי של $g$ ($x < \ln 4$): עולה מ-$y = -2$ (ב-$-\infty$) אל $0$ (חור ב-$\ln 4$).

בקטע $\ln 4 < x < \ln 8$: $g$ יורד מ-$0$ (חור) אל $-\infty$ (ליד $\ln 8$).

בקטע $x > \ln 8$: $g$ יורד מ-$+\infty$ אל מינימום $\left(\ln 12, 16\right)$ ואז עולה חזרה ל-$+\infty$.

בנקודות החיתוך $\;f(x) = g(x)$. מכיוון ש-$g = \dfrac{1}{f}$, נקבל $\;f = \dfrac{1}{f}$.

$f^2 = 1 \Rightarrow f = 1$ או $f = -1$. שיעור ה-$y$ בנקודת חיתוך שווה ל-$f(x)$, ולכן $y = 1$ או $y = -1$ — נבדוק אילו אכן מתקבלים.

בדיקת $f = 1$: $\;\dfrac{e^x - 8}{(e^x - 4)^2} = 1 \Rightarrow e^x - 8 = (e^x - 4)^2 = e^{2x} - 8e^x + 16$.

$e^{2x} - 9e^x + 24 = 0$. נציב $u = e^x$: $\;u^2 - 9u + 24 = 0$, דיסקרימיננטה $\;81 - 96 = -15 < 0$ — אין פתרון.

בדיקת $f = -1$: $\;\dfrac{e^x - 8}{(e^x - 4)^2} = -1 \Rightarrow e^x - 8 = -(e^{2x} - 8e^x + 16)$.

$e^{2x} - 7e^x + 8 = 0$. נציב $u = e^x$: $\;u^2 - 7u + 8 = 0$, דיסקרימיננטה $\;49 - 32 = 17 > 0$, והפתרונות $u = \dfrac{7 \pm \sqrt{17}}{2}$ חיוביים — יש נקודות חיתוך.

לכן רק $f = -1$ מתקבל, ושיעור ה-$y$ של נקודות החיתוך הוא $-1$.

לא נחשב את האינטגרל, אלא נחסום את הגורם $f(x) - g(x)$ בקטע $[-3, -2]$. שם $e^x$ קטן ($e^{-3} \approx 0.05$, $e^{-2} \approx 0.14$).

נראה ש-$f(x) < -\frac{1}{2}$: נחשב $\;f(x) + \dfrac{1}{2} = \dfrac{e^x - 8}{(e^x - 4)^2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2(e^x - 8) + (e^x - 4)^2}{2(e^x - 4)^2} = \dfrac{e^x(e^x - 6)}{2(e^x - 4)^2}$.

בקטע זה $e^x < 6$, לכן המונה $e^x(e^x - 6) < 0$ והמכנה חיובי — כלומר $f + \frac{1}{2} < 0$, ומכאן $f(x) < -\frac{1}{2}$.

נראה ש-$g(x) > -2$: נחשב $\;g(x) + 2 = \dfrac{(e^x - 4)^2}{e^x - 8} + 2 = \dfrac{(e^x - 4)^2 + 2(e^x - 8)}{e^x - 8} = \dfrac{e^x(e^x - 6)}{e^x - 8}$.

בקטע זה $e^x < 6$ ($\Rightarrow e^x - 6 < 0$) וגם $e^x - 8 < 0$, לכן המנה חיובית — כלומר $g + 2 > 0$, ומכאן $g(x) > -2$.

משתי אי-השוויונות: $\;f(x) < -\frac{1}{2}$ וגם $-g(x) < 2$, ולכן $\;f(x) - g(x) < -\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$ בכל הקטע.

לכן $\;\displaystyle\int_{-3}^{-2}\big(f(x) - g(x)\big)\,dx < \frac{3}{2}\cdot\big(-2 - (-3)\big) = \frac{3}{2}\cdot 1 = \frac{3}{2}$.

כלומר האינטגרל קטן מ-$1\frac{1}{2}$.