קיץ 2024 · מועד א

נסמן ב-$M(x, y)$ נקודה שדרכה עוברים שני המשיקים.

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה, לכן המשולש $MAK$ ישר-זווית ב-$A$.

לפי פיתגורס במשולש $MAK$: $\;MA^2 = MK^2 - 3^2 = MK^2 - 9$.

באותו אופן במעגל $II$ (רדיוס 1): $\;MB^2 = ML^2 - 1$.

נוסחת המרחק: $\;MK^2 = (x-3)^2 + (y-4)^2$, $\;ML^2 = (x+5)^2 + (y-2)^2$.

התנאי $MA = MB$ שקול ל-$MA^2 = MB^2$, כלומר $\;MK^2 - 9 = ML^2 - 1$.

מציבים: $\;(x-3)^2 + (y-4)^2 - 9 = (x+5)^2 + (y-2)^2 - 1$.

מפתחים את הריבועים: $\;x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16 - 9 = x^2 + 10x + 25 + y^2 - 4y + 4 - 1$.

מצמצמים $x^2$ ו-$y^2$: $\;-6x - 8y + 16 = 10x - 4y + 28$.

מעבירים הכל לאגף אחד: $\;-16x - 4y - 12 = 0$.

מחלקים ב-$-4$: $\;4x + y + 3 = 0$.

זוהי משוואת קו ישר, ולכן המקום הגאומטרי הוא קו ישר.

שיפוע $KL$ דרך $K(3,4)$ ו-$L(-5,2)$: $\;m_{KL} = \dfrac{4 - 2}{3 - (-5)} = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}$.

שיפוע הישר מסעיף א, $y = -4x - 3$: $\;m = -4$.

מכפלת השיפועים: $\;m_{KL} \cdot m = \dfrac{1}{4} \cdot (-4) = -1$.

מכפלת השיפועים שווה $-1$, ולכן הישרים מאונכים זה לזה.

נשתמש בפיתגורס במשולשי המשיקים: $\;MK^2 = MA^2 + 9$ וגם $ML^2 = MB^2 + 1$.

על הישר מסעיף א מתקיים $MA = MB$, ולכן $\;MA^2 = MB^2$.

נניח בשלילה שקיימת נקודה עם $MK = ML$, אז $\;MK^2 = ML^2$.

מציבים: $\;MA^2 + 9 = MB^2 + 1$.

מצמצמים $MA^2 = MB^2$ משני האגפים: $\;9 = 1$.

קיבלנו סתירה, ולכן לא קיימת נקודה $M$ המקיימת $MK = ML$.

אורך הבסיס $KL$: $\;KL = \sqrt{(3-(-5))^2 + (4-2)^2} = \sqrt{8^2 + 2^2} = \sqrt{68}$.

שטח המשולש: $\;S_{KLM} = \dfrac{KL \cdot h}{2}$, כאשר $h$ הוא הגובה מ-$M$ אל $KL$.

מציבים $S_{KLM} = 26$: $\;\dfrac{\sqrt{68} \cdot h}{2} = 26$.

מבודדים את הגובה: $\;h = \dfrac{52}{\sqrt{68}}$.

$M$ נמצאת על הישר מסעיף א, לכן נסמן $M(t,\, -4t - 3)$.

משוואת $KL$ דרך $K(3,4)$ בשיפוע $\tfrac{1}{4}$: $\;y - 4 = \tfrac{1}{4}(x - 3)$.

מסדרים לצורה כללית: $\;-x + 4y - 13 = 0$.

הגובה הוא המרחק מ-$M(t, -4t-3)$ אל $KL$: $\;h = \dfrac{|-t + 4(-4t - 3) - 13|}{\sqrt{(-1)^2 + 4^2}}$.

מפשטים את המונה: $\;-t + 4(-4t - 3) - 13 = -17t - 25$, והמכנה $\sqrt{17}$.

$M$ מעל $KL$ (הביטוי חיובי), ומשווים לגובה: $\;\dfrac{-17t - 25}{\sqrt{17}} = \dfrac{52}{\sqrt{68}}$.

נעזרים ב-$\sqrt{68} = 2\sqrt{17}$ וכופלים את שני האגפים ב-$\sqrt{68}$: $\;52 = 2(-17t - 25)$.

פותחים: $\;52 = -34t - 50$.

מבודדים: $\;102 = -34t \Rightarrow t = -3$.

מציבים ב-$y = -4t - 3$: $\;y = -4 \cdot (-3) - 3 = 9$.

הפתרון השני (הביטוי שלילי) נותן נקודה מתחת ל-$KL$, ולכן נפסל לפי הנתון.

מציבים את $M(-3, 9)$ במשוואת הפרבולה $y^2 = 2px$: $\;9^2 = 2p \cdot (-3)$.

מפשטים: $\;81 = -6p$.

מבודדים: $\;p = -13.5$.

משוואת המשיק לפרבולה $y^2 = 2px$ בנקודה $(x_1, y_1)$: $\;y\,y_1 = p(x + x_1)$.

מציבים $x_1 = -3$, $y_1 = 9$, $p = -13.5$: $\;9y = -13.5(x - 3)$.

מחלקים ב-$9$: $\;y = -1.5(x - 3)$.

פותחים: $\;y = -1.5x + 4.5$.

בצורה כללית: $\;3x + 2y - 9 = 0$.