קיץ 2024 · מועד א

משווים את ההצגות הפרמטריות: $\;t(-1, 3, 0) = (1, -3, 0) + m(0, k, 1)$.

רכיב $x$: $\;-t = 1 \Rightarrow t = -1$.

רכיב $z$: $\;0 = m \Rightarrow m = 0$.

רכיב $y$ (בדיקה): $\;3t = -3 + mk$, ומציבים $t=-1, m=0$: $\;-3 = -3$ — מתקיים לכל $k$.

מציבים $t = -1$ ב-$\ell_1$: $\;A = -1 \cdot (-1, 3, 0) = (1, -3, 0)$.

וקטורי הכיוון: $\;\vec{u} = (-1, 3, 0)$ של $\ell_1$, ו-$\vec{v} = (0, k, 1)$ של $\ell_2$.

הזווית בין ישרים: $\;\cos\alpha = \dfrac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$.

מכפלה סקלרית: $\;\vec{u} \cdot \vec{v} = (-1)(0) + 3k + (0)(1) = 3k$.

גדלים: $\;|\vec{u}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{10}$, $\;|\vec{v}| = \sqrt{k^2 + 1}$.

מציבים בתנאי: $\;\dfrac{|3k|}{\sqrt{10}\,\sqrt{k^2+1}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{5}$.

מחלקים ב-$3$: $\;\dfrac{|k|}{\sqrt{10}\,\sqrt{k^2+1}} = \dfrac{\sqrt{2}}{5}$.

כופלים ב-$\sqrt{10}$: $\;\dfrac{|k|}{\sqrt{k^2+1}} = \dfrac{\sqrt{20}}{5}$.

מעלים בריבוע: $\;\dfrac{k^2}{k^2+1} = \dfrac{20}{25} = \dfrac{4}{5}$.

מכפילים במכנים: $\;5k^2 = 4(k^2 + 1)$.

מפשטים: $\;5k^2 = 4k^2 + 4 \Rightarrow k^2 = 4$.

עבור $k=2$ וקטורי הכיוון הם $\vec{u} = (-1, 3, 0)$ ו-$\vec{v} = (0, 2, 1)$.

הנורמל $\vec{n} = (a, b, c)$ מאונך לשני וקטורי הכיוון.

תנאי $\vec{n} \perp \vec{u}$: $\;-a + 3b = 0$.

תנאי $\vec{n} \perp \vec{v}$: $\;2b + c = 0$.

בוחרים $b = 1$: $\;a = 3b = 3$, $\;c = -2b = -2$, ולכן $\vec{n} = (3, 1, -2)$.

משוואת המישור: $\;3x + y - 2z + d = 0$.

מציבים את $A(1, -3, 0)$: $\;3(1) + (-3) - 2(0) + d = 0 \Rightarrow d = 0$.

משוואת המישור: $\;3x + y - 2z = 0$.

הראשית $O(0,0,0)$ נמצאת על $\ell_1$: הצבת $t = 0$ ב-$\ell_1$ נותנת $(0,0,0)$.

הנקודה $A$ היא חיתוך $\ell_1$ ו-$\ell_2$, ולכן נמצאת על שני הישרים.

הנקודה $B$ נתונה על $\ell_2$.

המישור $\pi$ מכיל את $\ell_1$ ואת $\ell_2$, ולכן כל נקודה על אחד הישרים נמצאת ב-$\pi$.

מסקנה: $O$ (על $\ell_1$), $A$ (על שני הישרים) ו-$B$ (על $\ell_2$) — שלושתן ב-$\pi$, ולכן המשולש $AOB$ נמצא כולו במישור $\pi$.

מחשבים את $AO$ בנוסחת המרחק: $\;AO = \sqrt{(1-0)^2 + (-3-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{10}$.

המשולש שווה-שוקיים ($AO = AB$), ולכן גם $\;AB = \sqrt{10}$.

הזווית בין $AO$ (לאורך $\ell_1$) ל-$AB$ (לאורך $\ell_2$) היא $\alpha$, ועבור $k=2$ נתון $\cos\alpha = \dfrac{3\sqrt{2}}{5}$.

מהזהות $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$: $\;\sin^2\alpha = 1 - \dfrac{18}{25} = \dfrac{7}{25}$.

הזווית חדה, לכן $\;\sin\alpha = \dfrac{\sqrt{7}}{5}$.

שטח הבסיס: $\;S_{AOB} = \dfrac{AO \cdot AB \cdot \sin\alpha}{2} = \dfrac{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10} \cdot \frac{\sqrt{7}}{5}}{2}$.

מפשטים: $\;S_{AOB} = \dfrac{10 \cdot \frac{\sqrt{7}}{5}}{2} = \dfrac{2\sqrt{7}}{2} = \sqrt{7}$.

$S$ על האנך למישור דרך $A$, בכיוון הנורמל $\vec{n} = (3, 1, -2)$: $\;S = A + Q\vec{n} = (1 + 3Q,\ -3 + Q,\ -2Q)$.

גובה הפירמידה הוא אורך האנך: $\;SA = \sqrt{(3Q)^2 + Q^2 + (2Q)^2} = \sqrt{14Q^2}$.

נפח הפירמידה: $\;V_{SAOB} = \dfrac{S_{AOB} \cdot SA}{3} = \dfrac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{14Q^2}}{3} = 7\sqrt{2}$.

מעלים בריבוע את שני האגפים: $\;\dfrac{7 \cdot 14Q^2}{9} = 98$.

כופלים ב-$9$ ומחלקים ב-$7$: $\;14Q^2 = 126$.

מחלקים ב-$14$: $\;Q^2 = 9 \Rightarrow Q = \pm 3$.

עבור $Q = 3$: $\;S = (1 + 9,\ -3 + 3,\ -6) = (10,\, 0,\, -6)$.

עבור $Q = -3$: $\;S = (1 - 9,\ -3 - 3,\ 6) = (-8,\, -6,\, 6)$.