קיץ 2024 · מועד א

האלכסונים נפגשים בראשית, ולכן הראשית היא אמצע כל אלכסון.

הקודקוד $C$ נגדי ל-$A$ ביחס לראשית: $\;C = -A = -z$.

אורך האלכסון $AC$: $\;AC = |A - C| = |z - (-z)| = |2z| = 2r$.

מהנתון $BD = 2AC = 4r$, ולכן חצי-אלכסון $\;OB = 2r$.

במעוין האלכסונים מאונכים, אז $B$ בכיוון $A$ מסובב ב-$90°$ (כפל ב-$i$) ובגודל $2r$: $\;B = 2iz$.

הקודקוד $D$ נגדי ל-$B$: $\;D = -B = -2iz$.

משתמשים בכלל $\dfrac{1}{R\,\text{cis}\,\varphi} = \dfrac{1}{R}\,\text{cis}(-\varphi)$, וכותבים כל קודקוד בקוטבית.

$A = r\,\text{cis}\,\theta$, ולכן $\;\dfrac{1}{A} = \dfrac{1}{r}\,\text{cis}(-\theta)$.

$B = 2iz = 2r\,\text{cis}(\theta + 90°)$, ולכן $\;\dfrac{1}{B} = \dfrac{1}{2r}\,\text{cis}(-\theta - 90°)$.

$C = -z = r\,\text{cis}(\theta + 180°)$, ולכן $\;\dfrac{1}{C} = \dfrac{1}{r}\,\text{cis}(-\theta - 180°)$.

$D = -2iz = 2r\,\text{cis}(\theta + 270°)$, ולכן $\;\dfrac{1}{D} = \dfrac{1}{2r}\,\text{cis}(-\theta - 270°)$.

$\frac{1}{A}$ ו-$\frac{1}{C}$ באותו גודל $\frac{1}{r}$ ובכיוונים נגדיים (הפרש זווית $180°$) — קצוות אלכסון אחד.

$\frac{1}{B}$ ו-$\frac{1}{D}$ באותו גודל $\frac{1}{2r}$ ובכיוונים נגדיים — קצוות האלכסון השני.

האלכסונים מאונכים (הזוויות $-\theta$ ו-$-\theta-90°$ נבדלות ב-$90°$) וחוצים זה את זה בראשית — ולכן זהו מעוין.

אורך אלכסון ראשון: $\;d_1 = 2 \cdot \dfrac{1}{r} = \dfrac{2}{r}$.

אורך אלכסון שני: $\;d_2 = 2 \cdot \dfrac{1}{2r} = \dfrac{1}{r}$.

שטח מעוין לפי אלכסונים: $\;S = \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2} = \dfrac{\frac{2}{r} \cdot \frac{1}{r}}{2} = \dfrac{1}{r^2}$.

נסמן $w = R\,\text{cis}\,\varphi$ (עם $R > 0$). אז $\;\bar{w} = R\,\text{cis}(-\varphi)$ ו-$w^{11} = R^{11}\,\text{cis}(11\varphi)$.

המשוואה $\bar{w} = w^{11}$: $\;R\,\text{cis}(-\varphi) = R^{11}\,\text{cis}(11\varphi)$.

משוואת הגדלים: $\;R = R^{11} \Rightarrow R(R^{10} - 1) = 0$.

מכיוון ש-$w \ne 0$ נפסל $R = 0$, ונשאר $\;R^{10} = 1 \Rightarrow R = 1$.

משוואת הזוויות: $\;11\varphi = -\varphi + 360°k \Rightarrow 12\varphi = 360°k \Rightarrow \varphi = 30°k$.

עבור $k = 0, 1, \ldots, 11$ מתקבלים $12$ פתרונות שונים: $\;w_k = \text{cis}(30°k)$ — $12$ נקודות במרווחי $30°$ על מעגל היחידה.

הסכום: $12$ וקטורים שווי-גודל הפרושים סימטרית סביב הראשית מתבטלים זה את זה.

הפתרונות מסעיף ג הם קודקודי מצולע משוכלל בן $12$ צלעות, חסום במעגל ברדיוס $R = 1$.

מפרקים ל-$12$ משולשים מרכזיים, כל אחד עם שתי צלעות $R = 1$ וזווית $\frac{360°}{12} = 30°$ ביניהן.

שטח משולש מרכזי אחד: $\;\dfrac{1 \cdot 1 \cdot \sin 30°}{2} = \dfrac{\frac{1}{2}}{2} = \dfrac{1}{4}$.

שטח המצולע כולו: $\;S_{12} = 12 \cdot \dfrac{1}{4} = 3$.

נתון שהשטח שווה לשטח המרובע מסעיף ב(2): $\;\dfrac{1}{r^2} = 3$.

מבודדים: $\;r^2 = \dfrac{1}{3}$.

ומכיוון ש-$r > 0$: $\;r = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.