קיץ 2023 · מועד ב

המכנה $\ne 0$: $\;e^x - 6 \ne 0$

אסימפטוטה אנכית: המכנה מתאפס ב-$x=\ln6$, אז $\;x = \ln 6$

$\lim_{x\to\infty} \dfrac{e^x}{e^x-6} = \dfrac{1}{1 - 6/e^x} = \dfrac{1}{1-0} = 1$, אסימפטוטה $y=1$

$\lim_{x\to-\infty} \dfrac{e^x}{e^x-6} = \dfrac{0}{0-6} = 0$, אסימפטוטה $y=0$

המונה $-6e^x < 0$ והמכנה $(e^x-6)^2 > 0$, לכן $f'(x) < 0$ בכל התחום

בתחום $x<\ln6$: יורד מ-$0$ (אסימפטוטה $y=0$ ב-$-\infty$) אל $-\infty$ (כש-$x\to\ln6^-$)

בתחום $x>\ln6$: יורד מ-$+\infty$ (כש-$x\to\ln6^+$) אל האסימפטוטה $y=1$

חיתוך עם ציר $y$: $f(0) = \dfrac{1}{1-6} = -\dfrac15$

ב-$x=\ln6$: $f\to\pm\infty$, אז $g=\frac1f\to0$ — נקודת אי-רציפות (חור), לא אסימפטוטה אנכית

$\lim_{x\to\infty} g = 1 - 0 = 1$ (אסימפטוטה $y=1$); כש-$x\to-\infty$, $g\to-\infty$ (אין אסימפטוטה)

$g(x) = 1 - 6e^{-x}$, ו-$g'(x) = 6e^{-x} > 0$ — $g$ עולה בכל התחום

אסימפטוטה $y=1$, חור ב-$(\ln6, 0)$, וכש-$x\to-\infty$ מתקיים $g\to-\infty$

בין האסימפטוטה $y=1$ לגרף $g$ (שם $g<1$): $\;S = \int_{\ln7}^{\ln10} (1 - g(x))\,dx$

$0=-6$ — אין פתרון

$x$ בגבול התחתון, אז $\;s'(x) = -\bigl(f(x)-g(x)\bigr) = g(x)-f(x)$

$x=\ln3$ (מסעיף ג)

בדיקה: ב-$x=0$ מתקיים $g-f<0$

ב-$x=\ln4$ מתקיים $g-f>0$

טבלת סימן: $\begin{array}{c|c|c|c} x & x<\ln3 & \ln3 & \ln3<x<\ln5 \\ \hline s'(x) & - & 0 & + \\ s(x) & \searrow & & \nearrow \end{array}$

מעבר $(-)\to(+)$ ב-$x=\ln3$, ולכן מינימום