קיץ 2023 · מועד ב

בסדרה הנדסית: $z_3 = z_1 q^2$

נחלק ב-$z_1$ (ברביע ראשון, $\ne 0$): $\;z_1^2 = q^2$

$z_1 = q$ או $z_1 = -q$, כלומר $q = z_1$ או $q = -z_1$

נסמן $z_1 = R\,\text{cis}\,\alpha$

מודולים: $\;2R = R^3$

זוויות: $\;\alpha + 180° = -3\alpha + 360°k$

$\alpha = -45°,\, 45°,\, 135°,\, 225°$; ברביע ראשון $\alpha = 45°$

כי $q = z_1$: $\;z_m = z_1 q^{m-1} = q^m$, עם $q = \sqrt2\,\text{cis}45°$

$z_{4n} = q^{4n} = \left((\sqrt2\,\text{cis}45°)^4\right)^n = (4\,\text{cis}180°)^n = (-4)^n$ — ממשי

$= \dfrac{(-4)^n}{2i}\cdot\dfrac{-i}{-i} = \dfrac{-(-4)^n\,i}{2}$ — מדומה טהור

$z_k = q^k = (\sqrt2)^k\,\text{cis}(45k°)$, אז $\;\dfrac{z_k}{(\sqrt2)^k} = \text{cis}(45k°)$

הסכום הוא סדרה הנדסית: איבר ראשון $\text{cis}45°$, מנה $\text{cis}45°$, $\;64$ איברים