קיץ 2023 · מועד ב

נסמן $C(x,y)$. הנתון $AC^2 + BC^2 = 1320$:

נשלים לריבוע: $\;(x-8)^2 + (y-14)^2 = 140 + 64 + 196 = 400$

הזזה $8$ שמאלה ו-$14$ למטה: המרכז $(8,14) \to (0,0)$, אז המעגל החדש $x^2 + y^2 = 400$

חיתוך עם ציר $y$ ($x=0$): $\;y^2 = 400$

$E(0,20)$ ו-$G(0,-20)$

מוקדי האליפסה $F_1(c,0)$, $F_2(-c,0)$; הישרים $EF_1 \parallel GF_2$, והמרחק ביניהם $24$ — לכן $12$ מהראשית לכל ישר

דרך 1 — משולשים דומים: במשולש $EOF_1$ הגובה לראשית $ON=12$, $\;EO=20$, $\;OF_1=c$, $\;EF_1=\sqrt{400+c^2}$

דרך 2 — מרחק בין ישרים מקבילים: $\ell_{EF_1}:\;\frac{20}{c}x + y - 20 = 0$, $\;\ell_{GF_2}:\;\frac{20}{c}x + y + 20 = 0$

אליפסה קנונית $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ עם $b = 20$ (דרך $E,G$) ו-$c = 15$

הישר $EF_1$ (עם $c=15$): $\;y = -\frac43 x + 20 \Rightarrow 4x + 3y - 60 = 0$

מעגל המשיק לשני הצירים: מרכז $(\pm R, \pm R)$, רדיוס $R$; נוסיף משיקות לישר

רביע ראשון, מרכז $(R,R)$: $\;R = \dfrac{|4R + 3R - 60|}{\sqrt{16+9}} = \dfrac{60 - 7R}{5}$

ולכן $(x-5)^2 + (y-5)^2 = 25$

רביע שני, מרכז $(-R,R)$: $\;R = \dfrac{|{-4R} + 3R - 60|}{5} = \dfrac{R + 60}{5}$

ולכן $(x+15)^2 + (y-15)^2 = 225$