קיץ 2023 · מועד ב

$\vec{EF} = \vec{ED} + \vec{DF}$, ו-$E$ אמצע $AD$, אז $\vec{ED} = \frac12\vec{AD}$

נבטא: $\;\vec{AD} = \vec{AC}+\vec{CD} = \vec v + \vec w$

נאסוף לפי $\vec u,\vec v,\vec w$:

$\vec w = \vec{CD}$ ניצב למישור $ABC$ (כי $DC\perp ABC$), ו-$\vec u,\vec v$ מוכלים במישור

$\vec{EF}\parallel ABC$ פירושו שאין ל-$\vec{EF}$ רכיב בכיוון $\vec w$, כלומר מקדם $\vec w$ מתאפס:

$\vec u\cdot\vec v = 6n = 24 \Rightarrow n = 4$, אז $C(0,4,0)$

$x = p-8,\;\; y = 4,\;\; z = 9$, אז $D(p-8,\, 4,\, 9)$

$\vec{CD} = D - C = (p-8,\, 0,\, 9)$; כי $DC\perp ABC$ מתקיים $\vec{CD}\cdot\vec u = 0$:

$(p-8,0,9)\cdot(p,6,0) = p^2 - 8p = 0 \Rightarrow p = 8$ (כי $p>0$)

בסיס $ABC$ במישור $z=0$: $\;AC = 4$ (על ציר $y$), הגובה אליו מ-$B$ הוא $x_B = 8$

גובה הפירמידה: $\;H = DC = 9$ (ניצב לבסיס)

נציב $k=\frac13$: $\;\vec{EF} = \frac16\vec u + \frac13\vec v$ (מקדם $\vec w$ מתאפס)

$\vec{AB} = \vec u$; ל-$\vec{EF}$ יש רכיב $\vec v$, אז הוא אינו כפולה של $\vec u$ — הישרים אינם מקבילים

$\vec{EF}$ מקביל לבסיס (מסעיף ב), ו-$E$ אמצע $AD$ נמצא בגובה $z=4.5$; הישר $AB$ נמצא בגובה $z=0$

הישרים בגבהים שונים ($z=4.5$ מול $z=0$) ואינם מקבילים — לכן אינם נחתכים