קיץ 2023 · מועד ב

$\ln x$ מוגדר עבור $x > 0$

המכנה $\ne 0$: $\;\ln x - \ln a \ne 0$

אסימפטוטה אנכית: המכנה מתאפס ב-$x=a$ (והמונה שם $2\ln a \ne 0$), אז $\;x = a$

אסימפטוטה אופקית: $\;y = 1$ (וגם כש-$x\to0^+$ מתקיים $f\to1$)

חיתוך עם ציר $x$: $\;f(x)=0$

$x = \dfrac1a$, כלומר הנקודה $\left(\dfrac1a,\, 0\right)$

חיתוך עם ציר $y$: $x=0$ אינו בתחום, אז אין חיתוך עם ציר $y$

$a>1 \Rightarrow \ln a > 0$; וגם $x>0$ ו-$(\ln x - \ln a)^2 > 0$, לכן $f'(x) < 0$ בכל התחום

בתחום $0<x<a$: מתקרב ל-$1$ כש-$x\to0^+$, יורד דרך $\left(\frac1a,0\right)$ אל $-\infty$ כש-$x\to a^-$

בתחום $x>a$: יורד מ-$+\infty$ (כש-$x\to a^+$) אל האסימפטוטה $y=1$

בתחום $x>a$: הפונקציה יורדת מ-$+\infty$ אל האסימפטוטה $y=1$, לכן $\;f(x) > 1$

כי $f$ יורדת בתחום, $\;f'(x) < 0$

לכל $x>a$ מתקיים $\;f(x) > 1 > 0 > f'(x)$, ולכן $f(x) \ne f'(x)$

אין אף פתרון למשוואה $f(x)=f'(x)$ בתחום $x>a$

$g(x) = \ln(f(x))$ מוגדרת רק כאשר $f(x) > 0$

מהחקירה: $\;0 < x < \frac1a \Rightarrow 0 < f < 1$

$f(x) > 0$ מתקיים רק ב-$\;0 < x < \frac1a$ או $x > a$

$g' = \dfrac{f'}{f}$; בתחום $f>0$ מתקיים $f'<0$, ולכן $g$ יורדת

אסימפטוטות אנכיות: $x=\frac1a$ ($f\to0 \Rightarrow g\to-\infty$) ו-$x=a$ ($f\to\infty \Rightarrow g\to\infty$)

אסימפטוטה אופקית $y=0$ (כש-$x\to\infty$, $f\to1 \Rightarrow g=\ln1=0$)

בתחום $0<x<\frac1a$: $0<f<1 \Rightarrow g<0$

בתחום $x>a$: $f>1 \Rightarrow g>0$

כי $1<a<3$, הקטע $[3,5]$ בתחום $x>a$, שם $g(x)=\ln(f(x))>0$, אז $\;S = \int_3^5 \ln(f(x))\,dx$