קיץ 2022 · מועד ב

מאי-זוגיות נובע $f(0)=0$, ויש מקסימום ב-$(1,a)$ (סימטרי למינימום ב-$(-1,-a)$).

תיאור הצורה: $f\to 0^-$ ב-$x\to-\infty$, יורדת למינימום $(-1,-a)$, עולה דרך $(0,0)$ למקסימום $(1,a)$, ויורדת ל-$0^+$ ב-$x\to+\infty$.

$f$ אי-זוגית עם $f(0)=0$, מינימום שלילי ב-$x=-1$ ומקסימום חיובי ב-$x=1$.

מהסקיצה: $f<0$ ב-$(-\infty,0)$, $f(0)=0$, $f>0$ ב-$(0,\infty)$.

ל-$\ln$ דרוש $f>0$.

$x \to 0^+$: $f \to 0^+$, $\;h = \ln(f) \to -\infty$. אסימפטוטה אנכית: $\;x = 0$.

$x \to +\infty$: $f \to 0^+$, $\;h \to -\infty$. אין אסימפטוטה אופקית (הגבול אינסופי).

$h(x) = 0$ כלומר $\ln(f(x)) = 0$ כלומר $f(x) = 1$.

$f$ ב-$(0,\infty)$: עולה מ-$0$ ל-$a$ (ב-$x=1$), אז יורדת ל-$0$. רציף.

משוואת $f=1$: 0 פתרונות אם $a < 1$, פתרון יחיד אם $a = 1$, שני פתרונות אם $a > 1$.

תחום: $(0,\infty)$. אסימפטוטה אנכית $x=0$.

בקצוות: $h \to -\infty$ משני הצדדים ($x\to 0^+$ ו-$x\to+\infty$).

מקסימום ב-$x=1$ (כי שם $f$ מקסימלי) בערך $\ln(a) > 0$.

הגרף עולה מ-$-\infty$ למקסימום $\ln(a)>0$, אז יורד ל-$-\infty$. בדרך — שתי נקודות חיתוך עם ציר $x$ (משני צדי המקסימום).

נשים לב שהמונה הוא, עד כדי מקדם, נגזרת המכנה: $\;\dfrac{6x}{1+x^2} = 3\cdot\dfrac{2x}{1+x^2}$, ו-$(1+x^2)\,' = 2x$.

(המכנה $1+x^2 > 0$ לכל $x$, ולכן אין צורך בערך מוחלט בתוך ה-$\ln$.)

נציב את התנאי $g(0)=0$: $\;3\ln(1+0^2) + C = 3\ln 1 + C = C = 0$.

מתקיים לכל $x$, ולכן $g$ זוגית. (אינטואיציה: $g$ קדומה של פונקציה אי-זוגית $f$, ולכן $g$ זוגית.)

מסעיף ג2 הפונקציה $g$ זוגית, ולכן השטח סימטרי ביחס לציר $y$: $\;\displaystyle\int_{-5}^{0} g(x)\,dx = \int_{0}^{5} g(x)\,dx$.

מכאן $\;\displaystyle\int_{-5}^{5} g(x)\,dx = \int_{-5}^{0} g + \int_{0}^{5} g = 2\int_{-5}^{0} g(x)\,dx$, כלומר $\displaystyle\int_{-5}^{0} g(x)\,dx = \tfrac12\int_{-5}^{5} g(x)\,dx$.

המשוואה הנתונה: $\;2\displaystyle\int_{-5}^{t} g(x)\,dx = \int_{-5}^{5} g(x)\,dx$, כלומר $\displaystyle\int_{-5}^{t} g(x)\,dx = \tfrac12\int_{-5}^{5} g(x)\,dx$.

משני אלה: $\;\displaystyle\int_{-5}^{t} g(x)\,dx = \int_{-5}^{0} g(x)\,dx \Rightarrow t = 0$.

יחידות: $g(x) = 3\ln(1+x^2) \ge 0$ (ושוויון רק ב-$x=0$), ולכן $\displaystyle\int_{-5}^{t} g\,dx$ עולה ממש כפונקציה של $t$ — אז $t=0$ הוא הפתרון היחיד. בדיקה: $t = 0 > -5$ ✓.