קיץ 2022 · מועד ב

הזוויות בין כל זוג מקצועות הן $90°$, ולכן המכפלות הסקלריות מתאפסות: $\;\vec u\cdot\vec v = \vec v\cdot\vec w = \vec u\cdot\vec w = 0$

מהשוויון $|\vec u| = |\vec v| = |\vec w|$ נובע: $\;\vec u\cdot\vec u = \vec v\cdot\vec v = \vec w\cdot\vec w$

$\vec{OH}$ מאונך לבסיס, ולכן מאונך לכל וקטור בבסיס, ובפרט: $\;\vec{OH}\cdot\vec{AB} = 0$ וגם $\vec{OH}\cdot\vec{AC} = 0$

המשוואה הראשונה: $\;(t\vec u + s\vec v + k\vec w)\cdot(\vec v - \vec u) = 0$

נפתח את הסוגריים: $\;t\,\vec u\cdot\vec v - t\,\vec u\cdot\vec u + s\,\vec v\cdot\vec v - s\,\vec v\cdot\vec u + k\,\vec w\cdot\vec v - k\,\vec w\cdot\vec u = 0$

נציב את המכפלות המתאפסות ($\vec u\cdot\vec v = \vec v\cdot\vec u = \vec w\cdot\vec v = \vec w\cdot\vec u = 0$): $\;-t\,\vec u\cdot\vec u + s\,\vec v\cdot\vec v = 0$

ומכיוון ש-$\vec u\cdot\vec u = \vec v\cdot\vec v$: $\;-t + s = 0 \;\Rightarrow\; t = s$

המשוואה השנייה: $\;(t\vec u + s\vec v + k\vec w)\cdot(\vec w - \vec u) = 0$

נפתח את הסוגריים: $\;t\,\vec u\cdot\vec w - t\,\vec u\cdot\vec u + s\,\vec v\cdot\vec w - s\,\vec v\cdot\vec u + k\,\vec w\cdot\vec w - k\,\vec w\cdot\vec u = 0$

נציב את המכפלות המתאפסות: $\;-t\,\vec u\cdot\vec u + k\,\vec w\cdot\vec w = 0$

ומכיוון ש-$\vec u\cdot\vec u = \vec w\cdot\vec w$: $\;-t + k = 0 \;\Rightarrow\; t = k$

משתי התוצאות: $\;t = s = k$

$M$ נקודת מפגש התיכונים (מרכז הכובד), ו-$D$ הוא אמצע הצלע $BC$. במרכז הכובד מתקיים: $\;\vec{AM} = \dfrac23\vec{AD}$

$D$ אמצע $BC$, לכן $\vec{BD} = \dfrac12\vec{BC}$: $\;\vec{OM} = \vec{OA} + \dfrac23\left(\vec{AB} + \dfrac12\vec{BC}\right)$

נציב $\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$: $\;\vec{OM} = \vec{OA} + \dfrac23\left(\vec{AB} + \dfrac12(\vec{AC} - \vec{AB})\right)$

נעבור לווקטורי הבסיס: $\;\vec{OA} = \vec u$, $\;\vec{AB} = \vec v - \vec u$, $\;\vec{AC} = \vec w - \vec u$

בתוך הסוגריים הפנימיים: $\;(\vec w - \vec u) - (\vec v - \vec u) = \vec w - \vec v$

לכן: $\;(\vec v - \vec u) + \dfrac12(\vec w - \vec v) = \dfrac12\vec v + \dfrac12\vec w - \vec u$

נימוק שזהו הגובה: ל-$\vec{OM}$ מקדמים שווים ($t = s = k = \dfrac13$). באותו חישוב כמו בסעיף א: $\;\vec{OM}\cdot\vec{AB} = -\dfrac13\,\vec u\cdot\vec u + \dfrac13\,\vec v\cdot\vec v = 0$, וכן $\vec{OM}\cdot\vec{AC} = 0$

לכן $\vec{OM}$ מאונך לשני וקטורים בלתי-תלויים בבסיס, ולכן מאונך לבסיס $ABC$. ומכיוון ש-$M$ נמצאת בתוך הבסיס, $OM$ הוא הגובה מ-$O$ לבסיס

$P$ נמצאת על הישר $\ell$ (הישר שעליו הגובה $OM$), והפירמידות $PABC$ ו-$OABC$ חולקות את אותו בסיס $ABC$

נפח פירמידה $= \dfrac13\cdot S_{ABC}\cdot h$. אותו בסיס, ולכן יחס הנפחים שווה ליחס הגבהים (המרחקים מהקודקוד לבסיס)

מכיוון ש-$P$ על הישר הניצב לבסיס דרך $M$, רגל האנך מ-$P$ לבסיס היא $M$ עצמה, ולכן המרחק מ-$P$ לבסיס הוא $|PM|$ (וכן המרחק מ-$O$ הוא $|OM|$)

התנאי נפח $PABC$ כפול מנפח $OABC$ נותן: $\;|PM| = 2\,|OM|$

הנקודה $P$ על הישר $OM$, ושתי נקודות עליו מקיימות $|PM| = 2|OM|$:

אפשרות 1 — $P$ בצד הנגדי ל-$M$ ביחס ל-$O$: $\;\vec{OP} = -\vec{OM} = -\dfrac13(\vec u + \vec v + \vec w)$

אפשרות 2 — $P$ מעבר ל-$M$ (אותו צד): $\;\vec{OP} = 3\,\vec{OM} = 3\cdot\dfrac13(\vec u + \vec v + \vec w) = \vec u + \vec v + \vec w$

$A(a,0,0)$, $B(0,a,0)$, $C(0,0,a)$, אז $\vec u=(a,0,0)$, $\vec v=(0,a,0)$, $\vec w=(0,0,a)$

$\ell$ דרך $O$ בכיוון $\vec{OM} = \dfrac13(\vec u+\vec v+\vec w) = \left(\dfrac a3,\dfrac a3,\dfrac a3\right)$

$X = t\left(\dfrac a3,\dfrac a3,\dfrac a3\right)$, או באופן שקול $X = t(1,1,1)$

הנורמל למישור הוא כיוון $\vec{OM}$: $\;(1,1,1)$

משוואת מישור: $\;x + y + z + d = 0$

עובר דרך $A(a,0,0)$: $\;a + 0 + 0 + d = 0 \Rightarrow d = -a$

נבחר את המשולש $AOB$ כבסיס הפירמידה, ואת $OC$ כגובה אליו — שכן $OC$ מאונך ל-$OA$ ול-$OB$ (הזוויות $\angle BOC = \angle COA = 90°$), ולכן $OC$ מאונך למישור $AOB$

המשולש $AOB$ ישר-זווית ב-$O$, עם ניצבים $OA = OB = a$, ולכן שטחו: $\;S_{AOB} = \dfrac{a\cdot a}{2} = \dfrac{a^2}{2}$

הגובה לבסיס: $\;OC = a$

נפח הפירמידה: $\;V = \dfrac{S_{AOB}\cdot OC}{3} = \dfrac{\frac{a^2}{2}\cdot a}{3} = \dfrac{a^3}{6}$

נשווה לנתון: $\;\dfrac{a^3}{6} = 57\tfrac{1}{6} = \dfrac{343}{6}$