קיץ 2022 · מועד ב

נכתוב את $z$ ואת הצמוד שלו בצורה קוטבית: $\;z = R\,\text{cis}\,\alpha$, $\;\bar z = R\,\text{cis}(-\alpha)$.

חילוק בצורה קוטבית — מחסירים את הזוויות: $\;\dfrac{z}{\bar z} = \dfrac{R\,\text{cis}\,\alpha}{R\,\text{cis}(-\alpha)} = \text{cis}\bigl(\alpha-(-\alpha)\bigr) = \text{cis}(2\alpha)$.

הצד הימני בצורה קוטבית: $\;-\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt 3}{2}i = \text{cis}(120°)$.

משווים: $\;\text{cis}(2\alpha) = \text{cis}(120°) \Rightarrow 2\alpha = 120° + 360°k$.

מחלקים ב-$2$: $\;\alpha = 60° + 180°k$.

הערכים האפשריים: $\alpha = 60°$ (רביע ראשון) או $\alpha = 240°$ (רביע שלישי).

נתון ש-$z$ ברביע השלישי ($180°<\alpha<270°$), ולכן $\;\alpha = 240°$.

נציב בצורה קוטבית: $\;z = R\,\text{cis}\,240°$, $\;\bar z = R\,\text{cis}(-240°)$, $\;4i = 4\,\text{cis}\,90°$, $\;i = \text{cis}\,90°$.

נחשב כל גורם בנפרד (מחברים/מחסירים זוויות): $\;4iz = 4\,\text{cis}\,90°\cdot R\,\text{cis}\,240° = 4R\,\text{cis}\,330°$.

המודולוס של כל מספר הוא הרדיוס החיובי: $\;|4R\,\text{cis}\,330°| = 4R$, $\;|R\,\text{cis}(-330°)| = R$, $\;|\text{cis}\,480°| = 1$.

נציב במשוואה הנתונה: $\;4R - R - 1 = 8$.

נציב $z = 3\,\text{cis}\,240°$: $\;z^3 = 3^3\,\text{cis}(3\cdot 240°) = 27\,\text{cis}\,720°$.

ומכיוון ש-$720° = 2\cdot 360°$: $\;z^3 = 27\,\text{cis}\,0°$.

אגף ימין: $\;\dfrac{z^3}{27} = \dfrac{27\,\text{cis}\,0°}{27} = \text{cis}\,0°$, אז המשוואה היא $\;w^9 = \text{cis}\,0°$.

נפתור בהוצאת שורש מסדר $9$: $\;w_k = \sqrt[9]{1}\,\text{cis}\dfrac{0° + 360°k}{9} = \text{cis}(40°k)$, $\;k = 0,1,\dots,8$.

תשעת הפתרונות: $\;\text{cis}\,0°,\ \text{cis}\,40°,\ \text{cis}\,80°,\ \text{cis}\,120°,\ \text{cis}\,160°,\ \text{cis}\,200°,\ \text{cis}\,240°,\ \text{cis}\,280°,\ \text{cis}\,320°$.

מסעיף א: $\;\dfrac{z}{\bar z} = \text{cis}\,120°$.

$\text{cis}\,120°$ הוא בדיוק הפתרון $w_3$ (עבור $k=3$), ולכן $\dfrac{z}{\bar z}$ הוא אחד מפתרונות המשוואה. מש״ל

נחשב את $B$ ו-$C$ (עם $z = 3\,\text{cis}\,240°$, $\bar z = 3\,\text{cis}(-240°)$):

הבסיס $BC$ אנכי (לשני הקודקודים אותה אבסיסה $-\tfrac12$) וסימטרי ביחס לציר ה-$x$. האנך האמצעי ל-$BC$ הוא ציר ה-$x$ (הישר $y=0$).

במשולש שווה-שוקיים הראש $A$ נמצא על האנך האמצעי לבסיס, ולכן $\text{Im}(A) = 0$.

$z = 3\,\text{cis}\,240° = -\tfrac{3}{2} - \tfrac{3\sqrt 3}{2}i$. נסמן $k = t\,i$: $\;A = z + t\,i = -\tfrac{3}{2} + \Bigl(t - \tfrac{3\sqrt 3}{2}\Bigr)i$.

לכן $\;k = \tfrac{3\sqrt 3}{2}\,i$.

קואורדינטות (מסעיף ד1): $\;A(-\tfrac{3}{2},0)$, $B(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{\sqrt 3}{2})$, $O(0,0)$, $C(-\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt 3}{2})$.

אלכסון $AO$ אופקי (שני קודקודיו על ציר $x$), אורך: $|AO| = \tfrac{3}{2}$.

אלכסון $BC$ אנכי (שניהם בעלי אבסיסה $-\tfrac{1}{2}$), אורך: $|BC| = \sqrt 3$.

האלכסונים מאונכים, ולכן המרובע דלתון. שטח: $\;S = \tfrac{1}{2}\cdot|AO|\cdot|BC| = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{3}{2}\cdot\sqrt 3 = \tfrac{3\sqrt 3}{4}$.