קיץ 2022 · מועד ב

נדרוש $f(x) > 0$, כלומר $\;x^2\,e^{a-x^3} > 0$.

הגורם $e^{a-x^3} > 0$ לכל $x$ (כל חזקה של $e$ חיובית), ולכן הסימן של $f$ נקבע על-ידי $x^2$ בלבד.

$x^2 > 0$ לכל $x \ne 0$, ו-$x^2 = 0$ רק ב-$x = 0$. לכן $f(x) > 0$ לכל $x \ne 0$, ו-$f(0) = 0$.

נגזור עם כלל המכפלה ($u = x^2$, $\;v = e^{a-x^3}$, $\;v\,' = e^{a-x^3}\cdot(-3x^2)$): $\;f\,'(x) = 2x\,e^{a-x^3} + x^2\,e^{a-x^3}\cdot(-3x^2)$.

נוציא גורם משותף $x\,e^{a-x^3}$: $\;f\,'(x) = x\,e^{a-x^3}\,(2 - 3x^3)$.

נשווה לאפס: $\;x\,e^{a-x^3}\,(2 - 3x^3) = 0$. מכיוון ש-$e^{a-x^3} \ne 0$ אף פעם, נקבל $x = 0$ או $2 - 3x^3 = 0$.

טבלת סימנים (האקספוננט תמיד חיובי, אז הסימן נקבע ע"י $x$ ו-$(2-3x^3)$):

ב-$x = 0$ הנגזרת עוברת מ-$-$ ל-$+$ — נקודת מינימום.

ב-$x = \sqrt[3]{2/3}$ הנגזרת עוברת מ-$+$ ל-$-$ — נקודת מקסימום.

בין שני אפסי $f\,'$ ($x=0$ ו-$x=\sqrt[3]{2/3}$) הנגזרת חיובית, ולכן השטח הכלוא הוא $\;\displaystyle\int_0^{\sqrt[3]{2/3}} f\,'(x)\,dx$.

לפי המשפט היסודי של החדו"א: $\;\displaystyle\int_0^{\sqrt[3]{2/3}} f\,'(x)\,dx = \Bigl[\,f(x)\,\Bigr]_0^{\sqrt[3]{2/3}} = f\bigl(\sqrt[3]{2/3}\bigr) - f(0)$.

נחשב: $\;f\bigl(\sqrt[3]{2/3}\bigr) = \bigl(\sqrt[3]{2/3}\bigr)^2 e^{\,a-\left(\sqrt[3]{2/3}\right)^3} = \sqrt[3]{\tfrac{4}{9}}\cdot e^{a - 2/3}$ (כי $\bigl(\sqrt[3]{2/3}\bigr)^3 = \tfrac{2}{3}$), ו-$f(0) = 0$.

אז השטח $= \sqrt[3]{\tfrac{4}{9}}\cdot e^{a-2/3}$. נשווה לנתון: $\;\sqrt[3]{\tfrac{4}{9}}\cdot e^{a-2/3} = \sqrt[3]{\tfrac{4e}{9}} = \sqrt[3]{\tfrac{4}{9}}\cdot e^{1/3}$.

נצמצם ב-$\sqrt[3]{4/9}$: $\;e^{a - 2/3} = e^{1/3}$

הצבת $a=1$: $\;f(x) = x^2 e^{1-x^3}$. מסעיף א2: מינימום $(0,0)$ ומקסימום ב-$\sqrt[3]{2/3}$ בערך $\sqrt[3]{4e/9}\approx 1.065$.

התנהגות ב-$+\infty$: $\;\lim\limits_{x\to+\infty} x^2 e^{1-x^3} = \infty\cdot e^{-\infty} = \dfrac{\infty}{e^{\infty}} = 0^+$ (האקספוננט שואף ל-$0$ מהר יותר), אז $y=0$ אסימפטוטה אופקית מימין.

התנהגות ב-$-\infty$: $\;\lim\limits_{x\to-\infty} x^2 e^{1-x^3} = \infty\cdot e^{+\infty} = +\infty$.

הגרף: יורד מ-$+\infty$ (משמאל), עובר דרך $(0,0)$ (מינימום, משיק אופקי), עולה למקסימום ב-$(\sqrt[3]{2/3},\,\sqrt[3]{4e/9})$, ויורד ושואף ל-$0^+$ מימין.

$g\,'(x) = f(x)$. עלייה אם ורק אם $g\,' \ge 0$ כלומר $f(x) \ge 0$.

מסעיף א1: $f \ge 0$ לכל $x$, ושוויון רק ב-$x=0$.

$g\,''(x) = f\,'(x)$. נקודת פיתול אם ורק אם $f\,'$ מתחלף בסימן.

סימני $f\,'$: $-$ ב-$(-\infty,0)$, $+$ ב-$(0,\sqrt[3]{2/3})$, $-$ ב-$(\sqrt[3]{2/3},\infty)$.

התחלפויות סימן: ב-$x = 0$ (מ-$-$ ל-$+$) וב-$x = \sqrt[3]{2/3}$ (מ-$+$ ל-$-$). שתי נקודות פיתול.

הצבה $u = 1 - x^3$, $\;du = -3x^2\,dx$:

בשתי נקודות הפיתול: $\;g(0) = -\tfrac{1}{3}e + C$, $\;g(\sqrt[3]{2/3}) = -\tfrac{1}{3}e^{1/3} + C = -\tfrac{\sqrt[3]{e}}{3} + C$.

מאחר ש-$\sqrt[3]{e} < e$, מתקיים $-\tfrac{\sqrt[3]{e}}{3} > -\tfrac{e}{3}$, ולכן $g(\sqrt[3]{2/3})$ גבוה יותר. אז $B = \bigl(\sqrt[3]{2/3},\,C - \tfrac{\sqrt[3]{e}}{3}\bigr)$.

נתון $\;y_B = \dfrac{e - \sqrt[3]{e}}{3}$, אז $\;C - \tfrac{\sqrt[3]{e}}{3} = \dfrac{e - \sqrt[3]{e}}{3} \Rightarrow C = \dfrac{e}{3}$.