קיץ 2022 · מועד ב

מרכז מעגל ש-$AB$ מיתר בו נמצא במרחק שווה מ-$A$ ומ-$B$ — כלומר על האנך האמצעי ל-$AB$

אמצע $AB$: $\;\left(\dfrac{-5+0}{2},\, \dfrac{4+(-1)}{2}\right) = (-2.5,\, 1.5)$

שיפוע $AB$: $\;m_{AB} = \dfrac{4-(-1)}{-5-0} = -1$; שיפוע האנך: $m = 1$

אנך אמצעי: $\;y - 1.5 = 1\cdot(x + 2.5)$

אליפסה קנונית: מוקדים על ציר $x$ סימטריים לראשית, $(\pm c,\, 0)$

אלו נקודות החיתוך של $M$ עם ציר $x$, אז המיתר על ציר $x$ סימטרי לראשית, ולכן מרכז $M$ על ציר $y$ ($x_M = 0$)

מסעיף א, המרכז על $y = x + 4$. הצב $x=0$: $\;y = 4$, אז $M(0,4)$

רדיוס $= |MA| = \sqrt{(-5-0)^2 + (4-4)^2} = 5$ (בדיקה: $|MB| = \sqrt{0 + (4+1)^2} = 5$ ✓)

חיתוך $M$ עם ציר $x$ ($y=0$): $\;x^2 + (0-4)^2 = 25$

$x = \pm3$, אז $c = 3$

אורך הציר הראשי $= 2a =$ קוטר $M = 10$, אז $a = 5$

המוקד הימני $F(3,0)$, השמאלי $(-3,0)$, אז הישר המאונך דרכו: $\;x = -3$

חיתוך עם האליפסה: $\;\dfrac{9}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$

$y = \pm\dfrac{16}{5}$, אז $T(-3,\tfrac{16}{5})$, $Q(-3,-\tfrac{16}{5})$

חיתוך עם $M$: $\;9 + (y-4)^2 = 25$

$y=0$ או $y=8$, אז $K(-3,0)$, $L(-3,8)$

שני המשולשים $KLF$ ו-$TQF$ חולקים את אותו גובה (המרחק מ-$F$ לישר $x=-3$), אז $\;\dfrac{S_{KLF}}{S_{TQF}} = \dfrac{KL}{TQ}$