קיץ 2022 · מועד א

$x^2 - 3 > 0 \Rightarrow x^2 > 3 \Rightarrow |x| > \sqrt{3}$, כלומר $x > \sqrt{3}$ או $x < -\sqrt{3}$.

אסימפטוטות אנכיות (קצוות התחום):

אז $x = -\sqrt{3}$ ו-$x = \sqrt{3}$ הן אסימפטוטות אנכיות.

אסימפטוטות אופקיות: ב-$x \to +\infty$: $f \to +\infty$. ב-$x \to -\infty$: $f = x + \ln(x^2-3) \to -\infty$ (הרכיב הליניארי דומיננטי). אין אסימפטוטה אופקית.

אפסים: $x = -3$ (בתחום) ו-$x = 1$ (לא בתחום $|x|>\sqrt{3}$).

סימן $f\,'$ סביב $x = -3$ (בענף $x<-\sqrt{3}$, שם $x^2-3>0$ ו-$x-1<0$):

$\;x < -3$: $(x+3)<0$, $\;f\,' = \tfrac{(-)(-)}{(+)} > 0$ — עולה.

$\;-3 < x < -\sqrt{3}$: $(x+3)>0$, $\;f\,' = \tfrac{(+)(-)}{(+)} < 0$ — יורד.

מ-$+$ ל-$-$ $\Rightarrow$ מקסימום. ערך: $\;f(-3) = -3 + \ln(9-3) = -3 + \ln 6$.

ענף שמאלי ($x < -\sqrt{3}$): עולה מ-$-\infty$ (ב-$x\to-\infty$) למקסימום $(-3,\,-3+\ln 6)$, ואז יורד ל-$-\infty$ ב-$x\to-\sqrt{3}^{-}$.

ענף ימני ($x > \sqrt{3}$): עולה מ-$-\infty$ (ב-$x\to \sqrt{3}^{+}$) ל-$+\infty$ (ב-$x\to\infty$).

אין נקודות חיתוך עם ציר $y$ (כי $0$ לא בתחום).

$f\,'(x) = \dfrac{(x+3)(x-1)}{x^2-3}$. צריך $x^2 - 3 \ne 0$, וגם להישאר בתחום של $f$ עצמה ($x^2 - 3 > 0$).

ב-$x \to \sqrt{3}^{+}$: $x^2-3\to 0^+$; $(x+3)(x-1) \to (\sqrt{3}+3)(\sqrt{3}-1) = 2\sqrt{3}$ (חיובי). אז $f\,' \to +\infty$.

ב-$x \to -\sqrt{3}^{-}$: $x^2-3\to 0^+$; $(x+3)(x-1) \to (-\sqrt{3}+3)(-\sqrt{3}-1) = -2\sqrt{3}$ (שלילי). אז $f\,' \to -\infty$.

אסימפטוטות אנכיות: $\;x = -\sqrt{3}$ ו-$x = \sqrt{3}$.

אופקית: $f\,' = 1 + \dfrac{2x}{x^2-3} \to 1 + 0 = 1$ ב-$x \to \pm\infty$ $\Rightarrow y = 1$.

ציר $x$: $\;f\,'(x) = 0$ כלומר $x = -3$ (כי $x=1$ לא בתחום). נקודה $(-3,\,0)$.

ציר $y$: $\;x = 0$ אינו בתחום ההגדרה $\Rightarrow$ אין חיתוך עם ציר $y$.

ענף שמאלי ($x < -\sqrt{3}$): מ-$y=1$ ($x\to-\infty$), יורד דרך $(-3,0)$, ויורד ל-$-\infty$ ($x\to-\sqrt{3}^{-}$).

ענף ימני ($x > \sqrt{3}$): מ-$+\infty$ ($x\to \sqrt{3}^{+}$), יורד ל-$y=1$ ($x\to+\infty$). אין חיתוך עם ציר $x$ בענף הזה.

$g\,' = 0 \Rightarrow x = -3$ (בתחום) או $x = 1$ (לא בתחום).

סימן ב-$x = -3$: $\;x < -3$ ($e^x>0$, $(x+3)<0$, $(x-1)<0$): $g\,'>0$. $\;-3<x<-\sqrt{3}$: $(x+3)>0$, $(x-1)<0$: $g\,'<0$. מ-$+$ ל-$-$ $\Rightarrow$ מקסימום.

ערך: $\;g(-3) = e^{-3}(9-3) = 6e^{-3}$.

ענף $x<-\sqrt{3}$: $(x-1)<0$ תמיד. $\;x<-3$: $(x+3)<0$ $\Rightarrow g\,'>0$, עולה. $\;-3<x<-\sqrt{3}$: $(x+3)>0$ $\Rightarrow g\,'<0$, יורד.

ענף $x>\sqrt{3}$: $(x+3)>0$, $(x-1)>0$ (כי $\sqrt{3}>1$) $\Rightarrow g\,'>0$, עולה לכל אורך הענף.

בעזרת $g = e^f$: $\;g\,' = e^f\cdot f\,' = g\cdot f\,'$. אז $\;f\,'(x)\cdot g(x) = g\,'(x)$.

בתחום $[-4,-3]$ (משמאל ל-$-3$): מסעיף ג2 — $g$ עולה, כלומר $g\,' > 0$. גרף $y = g\,'$ מעל ציר $x$.

שטח $= \displaystyle\int_{-4}^{-3} g\,'(x)\,dx = \bigl[g(x)\bigr]_{-4}^{-3} = g(-3) - g(-4)$.

שטח $= 6e^{-3} - 13e^{-4} = e^{-4}(6e - 13) \approx 0.299 - 0.238 \approx 0.06$.