קיץ 2022 · מועד א

נבחר את הנקודה $C(1,-1,2)$ ושני וקטורי כיוון במישור: $\;\vec{CB} = B - C = (6,6,3)$, $\;\vec{CD} = D - C = (-3,6,-6)$.

נצמצם כל וקטור בקבוע: $\;\vec{CB} \parallel (2,2,1)$ (חלוקה ב-$3$), $\;\vec{CD} \parallel (1,-2,2)$ (חלוקה ב-$-3$).

הצגה פרמטרית של המישור: $\;\underline{x} = (1,-1,2) + t(2,2,1) + Q(1,-2,2)$.

הנורמל $\vec n = (a,b,c)$ מאונך לשני וקטורי הכיוון, אז שתי המכפלות הסקלריות מתאפסות:

מהמשוואה הראשונה: $\;c = -2a - 2b$. נציב בשנייה: $\;a - 2b + 2(-2a-2b) = 0 \Rightarrow a - 2b - 4a - 4b = 0 \Rightarrow -3a - 6b = 0 \Rightarrow a = -2b$.

נבחר $b = 1$: $\;a = -2$, ו-$c = -2(-2) - 2(1) = 2$. אז הנורמל $\vec n = (-2,\,1,\,2)$.

משוואת המישור: $\;-2x + y + 2z + d = 0$. נציב את $C(1,-1,2)$: $\;-2(1) + (-1) + 2(2) + d = 0 \Rightarrow -2 - 1 + 4 + d = 0 \Rightarrow d = -1$.

הנקודה $A(4,p,-1)$ נמצאת במישור, אז נציב את שיעוריה במשוואה $-2x+y+2z-1=0$:

כל הצלעות שוות באורכן — זה רומבוס.

בדיקת זווית ישרה: $\;\vec{AB}\cdot\vec{BC} = (3)(-6) + (-6)(-6) + (6)(-3) = -18 + 36 - 18 = 0$ ✓.

רומבוס עם זווית ישרה $\Rightarrow$ ריבוע. מש״ל

הבסיס $ABCD$ הוא ריבוע שצלעו $9$, אז שטח הבסיס: $\;B = 9^2 = 81$.

נפח פירמידה: $\;V = \dfrac{B\cdot h}{3}$. נתון $V = 81$: $\;81 = \dfrac{81\cdot h}{3} = 27h \Rightarrow h = 3$.

הגובה $h$ הוא המרחק מהקודקוד $S$ למישור הבסיס. נקודה כללית על הישר $SC$: $\;S = (t,\,-4+3t,\,1+t)$.

המרחק מ-$S$ למישור $-2x+y+2z-1=0$ (גודל הנורמל $\sqrt{(-2)^2+1^2+2^2}=3$): $\;\dfrac{|-2t + (-4+3t) + 2(1+t) - 1|}{3} = \dfrac{|3t - 3|}{3}$.

נדרש $\dfrac{|3t-3|}{3} = 3 \Rightarrow |3t-3| = 9 \Rightarrow 3t-3 = \pm 9 \Rightarrow t = 4$ או $t = -2$.

הזווית בין שני מישורים שווה לזווית בין הנורמלים שלהם. נורמל למישור $ABCD$: $\vec{n_1} = (-2,1,2)$, $|\vec{n_1}| = 3$.

מישור $\pi$ מאונך למקצוע $SC$, ולכן כיוון $SC$ הוא נורמל ל-$\pi$: $\vec{n_2} = (1,3,1)$, $|\vec{n_2}| = \sqrt{11}$.

מכפלה סקלרית: $\;\vec{n_1}\cdot\vec{n_2} = (-2)(1) + (1)(3) + (2)(1) = -2 + 3 + 2 = 3$.