קיץ 2022 · מועד א

נכתוב $f(x) = (x-2)e^x + 1$.

$x \to +\infty$: $\;(x-2)e^x \to +\infty \Rightarrow f \to +\infty$. אין אסימפטוטה אופקית.

$x \to -\infty$: $\;e^x \to 0$ מהר יותר מאשר $|x|\to\infty$ (גבול ידוע: $x e^x \to 0$), ולכן $(x-2)e^x \to 0 \Rightarrow f \to 1$.

הסימן: $f\,' = 0$ ב-$x=1$; $\;f\,' < 0$ עבור $x<1$, $\;f\,' > 0$ עבור $x>1$.

תחום ירידה: $(-\infty,\,1)$. תחום עלייה: $(1,\,\infty)$. נקודת מינימום: $\;(1,\,1-e)$.

תיאור: הגרף יורד מ-$y\to 1$ (משמאל ל-$-\infty$), עובר דרך $(0,-1)$, ממשיך לרדת למינימום $(1,\,1-e)$, ואז עולה ל-$+\infty$ (ראה תרשים).

$x \to -\infty$: $\;e^x \to 0$, $\;-x \to +\infty$. מונה $\to 1$, מכנה $\to +\infty$, $\;g \to 0$.

$g(x) = 0$ כלומר $1 - e^x = 0$ כלומר $x = 0$.

בדיקה: $g(0) = \dfrac{1-1}{1-0} = 0$ ✓.

בכלל המנה: $\;g\,'(x) = \dfrac{(-e^x)(e^x - x) - (1 - e^x)(e^x - 1)}{(e^x - x)^2}$.

מונה: $\;-e^{2x} + xe^x - \bigl[(1)(e^x) - 1 - e^{2x} + e^x\bigr]$

אז: $\;g\,'(x) = \dfrac{f(x)}{(e^x - x)^2}$. מש״ל

הסימן של $g\,'$ זהה לסימן של $f$ (כי המכנה ריבוע חיובי).

$f$ יורדת מ-$y=1$ (ב-$-\infty$) ל-$y=1-e<0$ (ב-$x=1$): חוצה את ציר $x$ פעם אחת בדרך. נקרא לזה $x_a < 1$.

$f$ עולה מ-$1-e$ (ב-$x=1$) ל-$+\infty$: חוצה את ציר $x$ פעם נוספת. נקרא לזה $x_b > 1$.

אז: $f<0$ ב-$(x_a, x_b)$ ו-$f>0$ מחוץ. סימני $g\,'$: $+$ ב-$(-\infty,x_a)$, $-$ ב-$(x_a,x_b)$, $+$ ב-$(x_b,\infty)$.

ב-$x_a$: $g\,'$ עוברת מ-$+$ ל-$-$ $\Rightarrow$ מקסימום אחד. ב-$x_b$: מ-$-$ ל-$+$ $\Rightarrow$ מינימום אחד.

הגרף מתחיל ב-$y=0$ משמאל, עולה (כי $g\,'>0$ ב-$(-\infty,x_a)$) למקסימום קטן חיובי ב-$x_a\approx -1.2$.

אחר כך יורד דרך $(0,0)$ ועובר לערכים שליליים, ממשיך לרדת למינימום ב-$x_b\approx 1.84$.

מ-$x_b$ והלאה עולה (אבל נשאר שלילי) ושואף לאסימפטוטה $y=-1$ מלמעלה.

הגרף חותך את ציר $x$ ב-$x=0$, ובתחום $(-1,0)$ מתקיים $g(x)>0$ (הגרף מעל ציר $x$). לכן השטח הוא $\;\displaystyle\int_{-1}^{0} g(x)\,dx$.

המונה הוא, עד כדי סימן, נגזרת המכנה: $\;1-e^x = -(e^x-1) = -(e^x-x)\,'$. לפי $\int\dfrac{f\,'}{f}\,dx = \ln|f|$:

$\;\displaystyle\int \dfrac{1 - e^x}{e^x - x}\,dx = -\ln(e^x - x) + C$ (אין צורך בערך מוחלט כי $e^x - x > 0$ לכל $x$).

שטח: $\;\displaystyle\int_{-1}^{0} g(x)\,dx = \bigl[-\ln(e^x - x)\bigr]_{-1}^{0} = \bigl(-\ln(e^0 - 0)\bigr) - \bigl(-\ln(e^{-1} + 1)\bigr)$.