קיץ 2022 · מועד א

נסמן $z = x + iy$ ו-$\bar z = x - iy$, ונפתח את שני האגפים.

אגף שמאל: $\;\bar z^2 + z\bar z = (x-iy)^2 + (x+iy)(x-iy) = (x^2 - 2xyi - y^2) + (x^2 + y^2) = 2x^2 - 2xyi$.

אגף ימין: $\;\bar z + 2z + 9 - 7i = (x-iy) + 2(x+iy) + 9 - 7i = (3x + 9) + (y - 7)i$.

השוואת החלק הממשי: $\;2x^2 = 3x + 9 \Rightarrow 2x^2 - 3x - 9 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{3 \pm 9}{4} \Rightarrow x = 3$ או $x = -\tfrac{3}{2}$.

השוואת החלק המדומה: $\;-2xy = y - 7 \Rightarrow y(2x + 1) = 7 \Rightarrow y = \dfrac{7}{2x+1}$.

עבור $x = 3$: $\;y = \dfrac{7}{7} = 1 \Rightarrow z_1 = 3 + i$ (ברביע הראשון ✓).

עבור $x = -\tfrac{3}{2}$: $\;y = -\tfrac{7}{2}$ (רביע שלישי — נדחה, $z_1$ ברביע הראשון).

$|z_1|^2 = 3^2 + 1^2 = 10$, ולכן משוואת המעגל (מרכז בראשית, רדיוס $\sqrt{10}$): $\;x^2 + y^2 = 10$.

הריבוע חסום במעגל, אז האלכסון שלו שווה לקוטר המעגל: $\;d = 2|z_1| = 2\sqrt{10}$.

בריבוע השטח שווה למחצית מכפלת האלכסונים (השווים): $\;S = \dfrac{d^2}{2} = \dfrac{(2\sqrt{10})^2}{2} = \dfrac{40}{2} = 20$.

$z_2 = i \cdot z_1 = i(3+i) = -1 + 3i$ (רביע שני).

$z_3 = -z_1 = -3 - i$ (רביע שלישי).

$z_4 = -i \cdot z_1 = -i(3+i) = 1 - 3i$ (רביע רביעי).

נסמן $w_1 = r_1\,\text{cis}\,\alpha$ ו-$w_2 = r_2\,\text{cis}(\alpha+60°)$.

$z_1' = z_1\cdot w_1$ ו-$z_3' = z_3\cdot w_1 = (-z_1)\cdot w_1 = -z_1'$. כלומר $z_3'$ הוא הסימטרי של $z_1'$ ביחס לראשית.

באותו אופן $z_4' = -z_2'$.

שני האלכסונים $z_1'z_3'$ ו-$z_2'z_4'$ עוברים שניהם דרך הראשית — אם כך, האלכסונים נחצים זה את זה (נקודת אמצע משותפת = ראשית) $\Rightarrow$ המרובע מקבילית.

אורכי האלכסונים: $|z_1' - z_3'| = 2|z_1|\,r_1 = 2r_1\sqrt{10}$ ו-$|z_2' - z_4'| = 2r_2\sqrt{10}$. מאחר ש-$r_1 \ne r_2$ — אלכסונים שונים, לכן זו לא מקבילית-ריבוע ולא מקבילית-מלבן.

הזווית בין האלכסונים: $\arg z_2' - \arg z_1' = (\arg z_2 + \alpha + 60°) - (\arg z_1 + \alpha) = (\arg z_2 - \arg z_1) + 60° = 90° + 60° = 150°$ (לא $90°$) $\Rightarrow$ לא מעוין.

אלכסון $d_1 = 2r_1\sqrt{10}$, אלכסון $d_2 = 2r_2\sqrt{10}$, $\;\theta = 150°$, $\;\sin 150° = \tfrac{1}{2}$.

שטח המקבילית: $\;S = \tfrac{1}{2}\cdot 2r_1\sqrt{10}\cdot 2r_2\sqrt{10}\cdot\tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 40\,r_1 r_2\cdot\tfrac{1}{2} = 10\,r_1 r_2$.

נתון ששטח המקבילית גדול פי $1.4$ משטח הריבוע: $\;S = 1.4\cdot 20 = 28$.

לכן $\;10\,r_1 r_2 = 28 \Rightarrow r_1 r_2 = 2.8$.