קיץ 2022 · מועד א

המרחק בין המרכזים $M(a,0)$ ל-$N(14,0)$ הוא $9$: $\;\sqrt{(a-14)^2 + 0^2} = 9 \Rightarrow (a-14)^2 = 81$.

$a - 14 = \pm 9 \Rightarrow a = 23$ או $a = 5$.

משיקות חיצונית: מרחק המרכזים שווה לסכום הרדיוסים, $\;R + r = 9$. עם היחס $R = 2r$: $\;2r + r = 9 \Rightarrow 3r = 9 \Rightarrow r = 3$, ולכן $R = 6$.

משוואת המעגל $N$ (מרכז $(14,0)$, רדיוס $R=6$): $\;(x-14)^2 + y^2 = 36$.

שתי האפשרויות למעגל $M$ (רדיוס $r=3$): $\;(x-5)^2 + y^2 = 9\;$ או $\;(x-23)^2 + y^2 = 9$.

עם $a<14$ מקבלים $a=5$. שני המעגלים: $M$ הקטן משמאל, $N$ הגדול מימין. הם משיקים בנקודה $(8,0)$.

שלושה משיקים משותפים: $\;x = 8$ (אנכי, בנקודת ההשקה), ועוד שני משיקים חיצוניים שנחתכים על ציר $x$ בנקודה $(-4,0)$ (יימצאו בסעיף ד).

ראה את התרשים שלמעלה (המשיק האנכי בצהוב מקווקוו, המשיקים החיצוניים בורוד).

נקודת ההשקה נמצאת על הקטע $MN$, במרחק $r = 3$ מ-$M(5,0)$ (ובמרחק $R = 6$ מ-$N(14,0)$): $\;(5+3,\,0) = (8,\,0)$.

הקטע $MN$ אופקי (שני המרכזים על ציר $x$), והמשיק ניצב לו $\Rightarrow$ המשיק אנכי.

משוואתו: $\;x = 8$.

המרחק מ-$M(5,0)$ לישר שווה לרדיוס: $\;\dfrac{|5m + n|}{\sqrt{m^2+1}} = 3$.

המרחק מ-$N(14,0)$ לישר שווה לרדיוס: $\;\dfrac{|14m + n|}{\sqrt{m^2+1}} = 6$.

נחלק את המשוואה השנייה בראשונה: $\;\dfrac{|14m+n|}{|5m+n|} = 2$. למשיק חיצוני שני המרכזים באותו צד של הישר (אותו סימן): $\;14m+n = 2(5m+n)$.

נציב $n = 4m$ בתנאי הראשון: $\;\dfrac{|5m + 4m|}{\sqrt{m^2+1}} = \dfrac{|9m|}{\sqrt{m^2+1}} = 3$.

$m = \pm\dfrac{1}{\sqrt 8} = \pm\dfrac{\sqrt 2}{4}$, ו-$n = 4m = \pm\sqrt 2$ (באותו סימן).

נכתוב את הישר מסעיף ד בצורה נוחה: $\;\tfrac{1}{\sqrt 8}x + y + \sqrt 2 = 0$, כפל ב-$\sqrt 8$: $\;x + 2\sqrt 2\,y + 4 = 0$.

נקודת החיתוך של שני המשיקים על ציר $x$ ($y=0$): $\;x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$, כלומר הם נחתכים ב-$(-4,0)$.

מרכז של מעגל המשיק לשני הישרים נמצא על ציר ה-$x$. המרחק מ-$(c,0)$ לישר: $\;\dfrac{|c+4|}{\sqrt{1 + 8}} = \dfrac{|c+4|}{3}$.

עבור $R=6$: $\;\dfrac{|k+4|}{3} = 6 \Rightarrow |k+4| = 18 \Rightarrow k = 14$ (המעגל $N$ המקורי) או $k = -22$.

עבור $r=3$: $\;\dfrac{|t+4|}{3} = 3 \Rightarrow |t+4| = 9 \Rightarrow t = 5$ (המעגל $M$ המקורי) או $t = -13$.

המעגלים החדשים הם שיקוף המקוריים דרך נקודת החיתוך $(-4,0)$: $\;k = -22$, $\;t = -13$. בדיקת השקה חיצונית: $\;|k-t| = |-22-(-13)| = 9 = R+r$ ✓.