קיץ 2023 · מועד ב

המכנה: $\;e^x-4\neq0\;\Rightarrow\;e^x\neq4$

לוקחים $\ln$: $\;x\neq\ln4$

$e^x$ מוגדר לכל $x$, ולכן זו המגבלה היחידה.

אנכית: ב-$x=\ln4$ המכנה מתאפס והמונה $e^{\ln4}=4\neq0$: $\;x=\ln4$.

$x\to-\infty$: $\;e^x\to0$, ולכן $\;f\to\dfrac{0}{0-4}=0$: אסימפטוטה $y=0$.

$x\to\infty$: מחלקים ב-$e^x$: $\;f(x)=\dfrac{1}{1-4e^{-x}}\to\dfrac{1}{1-0}=1$: אסימפטוטה $y=1$.

כלל המנה:

$f'(x)=\dfrac{e^x\left(e^x-4\right)-e^x\cdot e^x}{\left(e^x-4\right)^2}$

במונה: $\;e^{2x}-4e^x-e^{2x}=-4e^x$

$e^x>0$ והמכנה ריבוע חיובי, ולכן $f'(x)<0$ בכל התחום. אין תחומי עלייה.

חיתוך עם ציר $y$: $\;f(0)=\dfrac{1}{1-4}=-\dfrac13$. חיתוך עם ציר $x$: המונה $e^x>0$ — אין.

$x<\ln4$: המכנה שלילי והמונה חיובי, ולכן $f<0$. הגרף מתחיל ליד $y=0$ (מתחת), יורד דרך $\left(0,\,-\frac13\right)$ אל $-\infty$ ליד $x=\ln4$.

$x>\ln4$: $f>0$. הגרף יורד מ-$+\infty$ ליד $x=\ln4$ ומתקרב ל-$y=1$ מלמעלה (ראו סקיצה).

$g(x)=\dfrac{e^x-4}{e^x}=1-4e^{-x}$, בתחום $x\neq\ln4$.

אנכית: המכנה $e^x$ אינו מתאפס. ב-$x=\ln4$ הפונקציה אינה מוגדרת, אבל $g\to1-4\cdot\dfrac14=0$ — ערך סופי, ולכן זה "חור" ולא אסימפטוטה.

$x\to\infty$: $\;e^{-x}\to0$, ולכן $g\to1$: אסימפטוטה $y=1$.

$x\to-\infty$: $\;e^{-x}\to\infty$, ולכן $g\to-\infty$ — אין אסימפטוטה.

$g'(x)=4e^{-x}>0$: $g$ עולה בכל התחום. $\;g''(x)=-4e^{-x}<0$: קעורה כלפי מטה ($\cap$).

חיתוך עם ציר $y$: $\;g(0)=1-4=-3$.

חיתוך עם ציר $x$: $\;1-4e^{-x}=0\;\Rightarrow\;x=\ln4$ — אבל הנקודה לא בתחום. לכן בגרף יש חור ב-$(\ln4,\,0)$, ולגרף של $g$ אין חיתוך עם ציר $x$.

הגרף עולה מ-$-\infty$ (משמאל), דרך $(0,\,-3)$, "מדלג" על $(\ln4,\,0)$, ומתקרב ל-$y=1$ מלמטה (הקו הירוק בסקיצה של סעיף א(4)).

האסימפטוטה האופקית $y=1$, והגרף מתחתיה: $\;1-g(x)=4e^{-x}>0$.

$e^{-\ln8}=\dfrac18$ וגם $e^{-\ln5}=\dfrac15$:

$S=-\dfrac48+\dfrac45=-0.5+0.8=0.3$

$f(x)=g(x)=\dfrac{1}{f(x)}\;\Rightarrow\;f^2(x)=1\;\Rightarrow\;f(x)=1\;$ או $\;f(x)=-1$

$f(x)=1$: $\;e^x=e^x-4\;\Rightarrow\;0=-4$ — אין פתרון.

בדיקה: $\;f(\ln2)=\dfrac{2}{2-4}=-1$ ו-$\;g(\ln2)=\dfrac{1}{-1}=-1$ ✓

$x$ בגבול התחתון: $\;s(x)=-\displaystyle\int_{\ln3}^{x}(f-g)\,dt$, ולכן $\;s'(x)=g(x)-f(x)$

$s'(x)=0$ כאשר $f=g$, כלומר $x=\ln2$ (סעיף ג). הנקודה בתחום, כי $\ln2<\ln3$.

נסמן $t=e^x$, $\;0<t<3$:

$g-f=\dfrac{t-4}{t}-\dfrac{t}{t-4}=\dfrac{(t-4)^2-t^2}{t(t-4)}=\dfrac{16-8t}{t(t-4)}=\dfrac{8(2-t)}{t(t-4)}$

בתחום $0<t<3$ המכנה $t(t-4)<0$. טבלת הסימנים:

הנגזרת עוברת ממינוס לפלוס, ולכן ב-$x=\ln2$ נקודת מינימום.