קיץ 2023 · מועד ב

$\ln x$ מוגדר רק כש-$x>0$.

המכנה: $\;\ln x-\ln a\neq0\;\Rightarrow\;\ln x\neq\ln a\;\Rightarrow\;x\neq a$

תחום ההגדרה: $\;x>0$, $\;x\neq a$.

אנכית: ב-$x=a$ המכנה מתאפס והמונה $2\ln a\neq0$ (כי $a>1$). לכן $x=a$ אסימפטוטה אנכית.

אופקית: מחלקים מונה ומכנה ב-$\ln x$:

$f(x)=\dfrac{1+\frac{\ln a}{\ln x}}{1-\frac{\ln a}{\ln x}}$

כש-$x\to\infty$: $\;\ln x\to\infty$, ולכן $f\to1$. האסימפטוטה: $y=1$.

כש-$x\to0^+$: $\;\ln x\to-\infty$ וגם כאן $f\to1$ — הגרף מתקרב לנקודה $(0,\,1)$, שאינה בתחום. אין שם אסימפטוטה אנכית.

ציר $y$: $x=0$ אינו בתחום — אין חיתוך.

ציר $x$: $\;\ln x+\ln a=0\;\Rightarrow\;\ln(ax)=0\;\Rightarrow\;ax=1\;\Rightarrow\;x=\dfrac1a$

הנקודה בתחום ($0<\frac1a<1<a$): $\;\left(\dfrac1a,\,0\right)$

כלל המנה עם $\;u=\ln x+\ln a$, $\;v=\ln x-\ln a$, $\;u'=v'=\dfrac1x$:

$f'(x)=\dfrac{\frac1x(\ln x-\ln a)-\frac1x(\ln x+\ln a)}{(\ln x-\ln a)^2}$

במונה: $\;\dfrac1x\left(\ln x-\ln a-\ln x-\ln a\right)=-\dfrac{2\ln a}{x}$

$a>1\;\Rightarrow\;\ln a>0$; וגם $x>0$ והמכנה בריבוע. לכן $f'(x)<0$ בכל התחום.

מסעיפים א(1)–א(4): התחום $x>0$, $x\neq a$; אסימפטוטות $x=a$ ו-$y=1$; חיתוך $\left(\frac1a,\,0\right)$; יורדת בכל ענף.

$0<x<a$: מתחילה ליד $(0,\,1)$ (כש-$x\to0^+$, $\;f\to1$), יורדת דרך $\left(\frac1a,\,0\right)$. כש-$x\to a^-$: המונה $\to2\ln a>0$ והמכנה $\to0^-$, ולכן $f\to-\infty$.

$x>a$: כש-$x\to a^+$ המכנה $\to0^+$, ולכן $f\to+\infty$. הפונקציה יורדת ומתקרבת ל-$y=1$ מלמעלה (ראו סקיצה).

בתחום $x>a$: הפונקציה יורדת מ-$+\infty$ אל $y=1$, ולכן $\;f(x)>1>0$.

מסעיף א(4): $\;f'(x)<0$ בכל התחום.

חיובי אינו שווה לשלילי — למשוואה $f(x)=f'(x)$ אין אף פתרון בתחום $x>a$. הטענה לא נכונה.

דרוש $\;f(x)>0$.

מהסקיצה (סעיף א(5)): $f>0$ בתחום $0<x<\dfrac1a$ (לפני האפס) ובתחום $x>a$ (שם $f>1$). בתחום $\dfrac1a\le x<a$: $\;f\le0$.

טבלת סימנים של $f$:

$\ln$ עולה, ולכן $g=\ln f$ יורדת בכל ענף, כמו $f$.

$0<x<\frac1a$: $f$ יורדת מ-$1$ אל $0^+$, ולכן $g$ יורדת מ-$\ln1=0$ אל $-\infty$. הגרף מתחיל ליד $(0,\,0)$ (לא כולל), ו-$x=\dfrac1a$ אסימפטוטה אנכית של $g$.

$x>a$: $f$ יורדת מ-$+\infty$ אל $1^+$, ולכן $g$ יורדת מ-$+\infty$ אל $0^+$. האסימפטוטות: $x=a$ ו-$y=0$ (ראו סקיצה).

חוק הלוגריתמים: $\;\ln\big(2f(x)\big)=\ln2+\ln f(x)=\ln2+g(x)$

החלק הראשון: $\;\ln2\cdot(5-2)=3\ln2$

החלק השני: $a<2$, ולכן התחום $2\le x\le5$ כולו בענף $x>a$, שבו $g>0$ (סעיף ג(2)). השטח שווה לאינטגרל: $\;\displaystyle\int_2^5g(x)\,dx=S$