קיץ 2023 · מועד ב

נסמן $C(x,\,y)$. ריבועי המרחקים:

$AC^2=x^2+(y-24)^2$

$BC^2=(x-18)^2+y^2$

הנתון: $\;x^2+(y-24)^2+(x-18)^2+y^2=1250$

פותחים: $\;x^2+y^2-48y+576+x^2-36x+324+y^2=1250$

$2x^2+2y^2-36x-48y+900=1250$

מחלקים ב-$2$: $\;x^2+y^2-18x-24y=175$

משלימים לריבוע:

$\left(x^2-18x+81\right)+\left(y^2-24y+144\right)=175+81+144$

$(x-9)^2+(y-12)^2=400$

המקום הגאומטרי הוא מעגל שמרכזו $(9,\,12)$ — אמצע הקטע $AB$ — ורדיוסו $20$:

אחרי ההזזה המרכז $(9-9,\;12-12)=(0,\,0)$: $\;x^2+y^2=400$

חיתוך עם ציר $y$ ($x=0$): $\;y^2=400\;\Rightarrow\;y=\pm20$

$E(0,\,20)$, $\;G(0,\,-20)$

נסמן $F_1(c,\,0)$, $\;F_2(-c,\,0)$, $\;c>0$ ($F_1$ מימין, כמו בסרטוט).

הישר $EF_1$ (חותך את הצירים ב-$c$ וב-$20$): $\;\dfrac{x}{c}+\dfrac{y}{20}=1\;\Rightarrow\;20x+cy-20c=0$

הישר $GF_2$: $\;\dfrac{x}{-c}+\dfrac{y}{-20}=1\;\Rightarrow\;20x+cy+20c=0$

שני הישרים מקבילים (אותו שיפוע $-\dfrac{20}{c}$).

המרחק מהנקודה $G(0,\,-20)$ לישר $EF_1$:

$d=\dfrac{|20\cdot0+c\cdot(-20)-20c|}{\sqrt{20^2+c^2}}=\dfrac{40c}{\sqrt{400+c^2}}$

האליפסה קנונית, המוקדים על ציר $x$, והיא עוברת ב-$E(0,\,20)$ ו-$G(0,\,-20)$. לכן $b=20$.

משוואת $EF_1$ עם $c=15$: $\;20x+15y-300=0\;\Rightarrow\;4x+3y-60=0$

מעגל שמשיק לשני הצירים: מרכזו $(\pm r,\,\pm r)$ ורדיוסו $r$. הדרישה — המרחק מהמרכז לישר שווה ל-$r$:

$\dfrac{|4x_0+3y_0-60|}{5}=r$

רביע I, מרכז $(r,\,r)$: $\;|7r-60|=5r$

$7r-60=5r\;\Rightarrow\;r=30$, או $\;60-7r=5r\;\Rightarrow\;r=5$

רביע II, מרכז $(-r,\,r)$: $\;|-r-60|=5r\;\Rightarrow\;r+60=5r\;\Rightarrow\;r=15$

רביע IV, מרכז $(r,\,-r)$: $\;|r-60|=5r$

$60-r=5r\;\Rightarrow\;r=10$ (האפשרות $r-60=5r$ נותנת $r<0$)

רביע III, מרכז $(-r,\,-r)$: $\;7r+60=5r\;\Rightarrow\;r<0$ — אין מעגל.

המעגלים האפשריים:

כל שניים מרביעים שונים הם תשובה נכונה.