קיץ 2023 · מועד ב

$E$ אמצע $AD$: $\;\overrightarrow{ED}=\dfrac12\overrightarrow{AD}=\dfrac12\underline{v}+\dfrac12\underline{w}$

$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{DF}$

מכנסים לפי כל וקטור:

$\overrightarrow{EF}=\dfrac{k}{2}\underline{u}+\dfrac{1-k}{2}\underline{v}+\dfrac{1-3k}{2}\underline{w}$

$\underline{u}$ ו-$\underline{v}$ נמצאים במישור $ABC$, ו-$\underline{w}=\overrightarrow{CD}$ מאונך לו. שלושתם בלתי תלויים.

$\overrightarrow{EF}$ מקביל למישור $ABC$ אם ורק אם הוא צירוף של $\underline{u}$ ו-$\underline{v}$ בלבד, כלומר המקדם של $\underline{w}$ מתאפס:

$\dfrac{1-3k}{2}=0\;\Rightarrow\;k=\dfrac13$

בדיקה: $E$ (אמצע $AD$) אינה במישור $ABC$, ולכן $EF$ אינו מונח במישור אלא מקביל לו ✓

הנקודות $A$, $B$, $C$ במישור $z=0$, ו-$DC$ מאונך אליו. לכן $\overrightarrow{CD}$ מקביל לציר $z$: ל-$D$ ול-$C$ אותם שיעורי $x$ ו-$y$.

$p-4=0\;\Rightarrow\;p=4$, ו-$y_D=8=n$ ✓

הבסיס $ABC$ במישור $z=0$, והגובה הוא $DC=12$.

שטח $\triangle ABC$ (במישור $xy$): $\;S=\dfrac{|x_By_C-x_Cy_B|}{2}=\dfrac{|4\cdot8-0\cdot3|}{2}=16$

עם $k=\dfrac13$: $\;\overrightarrow{EF}=\dfrac16\underline{u}+\dfrac13\underline{v}$

$\overrightarrow{EF}=\dfrac16(4,3,0)+\dfrac13(0,8,0)=\left(\dfrac23,\;\dfrac{19}{6},\;0\right)$

לא מקבילים: $\;\dfrac{2/3}{4}=\dfrac16\neq\dfrac{19/6}{3}=\dfrac{19}{18}$, ולכן $\overrightarrow{EF}$ אינו כפולה של $\underline{u}=(4,3,0)$.

לא נחתכים: $E$ אמצע $AD$: $\;E=(0,\,4,\,6)$. וקטור הכיוון של $EF$ עם $z=0$, ולכן כל נקודות הישר $EF$ בגובה $z=6$. הישר $AB$ כולו בגובה $z=0$ — אין להם נקודה משותפת.

לא מקבילים ולא נחתכים — הישרים מצטלבים.