קיץ 2023 · מועד ב

בסדרה הנדסית: $\;z_3=z_1q^2$

הנתון: $\;z_1q^2=z_1^3$

$z_1\neq0$ (הוא ברביע הראשון), ולכן מחלקים: $\;q^2=z_1^2$

$q^2-z_1^2=0\;\Rightarrow\;(q-z_1)(q+z_1)=0\;\Rightarrow\;q=z_1\;$ או $\;q=-z_1$ מש״ל

נסמן $\;z_1=r\,\operatorname{cis}\,\theta$, $\;r>0$, $\;0^{\circ}<\theta<90^{\circ}$.

מודול: $\;r^3=2r\;\Rightarrow\;r^2=2\;\Rightarrow\;r=\sqrt2$

זווית: $\;-3\theta=\theta+180^{\circ}+360^{\circ}k\;\Rightarrow\;\theta=-45^{\circ}-90^{\circ}k$

בתחום $0^{\circ}<\theta<90^{\circ}$: $\;k=-1\;\Rightarrow\;\theta=45^{\circ}$

$z_1=\sqrt2\,\operatorname{cis}\,45^{\circ}=1+i$

בדיקה: $\;z_1^3=(1+i)^3=-2+2i$, $\;\overline{z_3}=-2-2i=-2(1+i)$ ✓

עם $q=z_1$: $\;z_m=z_1\cdot q^{m-1}=z_1^m=\left(\sqrt2\right)^m\operatorname{cis}\left(45^{\circ}m\right)$ (דה-מואבר)

$z_{4n-2}$: הזווית $\;45^{\circ}(4n-2)=180^{\circ}n-90^{\circ}$

$\operatorname{cis}\left(180^{\circ}n-90^{\circ}\right)=\pm i$, ולכן $z_{4n-2}$ מדומה (טהור).

$z_{4n}$: הזווית $\;45^{\circ}\cdot4n=180^{\circ}n$

$\operatorname{cis}\left(180^{\circ}n\right)=\pm1$, ולכן $z_{4n}$ ממשי.

דוגמה ($n=1$): $\;z_2=(1+i)^2=2i$ מדומה, $\;z_4=(1+i)^4=-4$ ממשי ✓

מסעיף ג: $\;\dfrac{z_m}{\left(\sqrt2\right)^m}=\operatorname{cis}\left(45^{\circ}m\right)$. נסמן $w=\operatorname{cis}\,45^{\circ}$: הסכום הוא $\;w+w^2+\ldots+w^{64}$.

סדרה הנדסית עם איבר ראשון $w$, מנה $w\neq1$ ו-$64$ איברים:

$S=\dfrac{w\left(w^{64}-1\right)}{w-1}$

הסבר גאומטרי: $w^1,\ldots,w^8$ הם שמונה קדקודים של מתומן משוכלל על מעגל היחידה, וסכומם $0$. הסכום עובר עליהם $8$ פעמים: