קיץ 2026 · מועד ב

$A$ על גרף $f$ ושיעור $x$ שלה הוא $t$, ולכן $\;A\left(t,\;(4t-2)^3\right)$

$AB$ מקביל לציר $x$, ולכן לשתי הנקודות אותו שיעור $y$: $\;y_B = y_A = (4t-2)^3$

$B$ על הישר $\;y=3x+b\;$: $\;(4t-2)^3 = 3x_B + b$

הקטע אופקי ולפי התצלום $\;x_B < x_A$, ולכן פונקציית המטרה:

$D(t) = x_A - x_B = t - \dfrac{(4t-2)^3 - b}{3}\;$, בתחום $\;0 \le t \le 0.7$

כלל השרשרת: $\;\left[(4t-2)^3\right]' = 3(4t-2)^2\cdot 4$

$D'(t) = 1 - \dfrac{12(4t-2)^2}{3} = 1 - 4(4t-2)^2$

($b$ מחובר קבוע, ולכן נעלם בגזירה והתשובה לא תלויה בו)

$t = \dfrac38 = 0.375$

$t = \dfrac58 = 0.625$

שניהם בתחום.

טבלת הסימנים:

בנקודה $t=0.375$ הסימן עובר משלילי לחיובי: מינימום מקומי. בנקודה $t=0.625$ מחיובי לשלילי: מקסימום מקומי.

התחום סגור, ולכן משווים את המינימום המקומי לקצה הימני $t=0.7$ (מהקצה השמאלי $t=0$ הפונקציה יורדת, ולכן הוא אינו מועמד למינימום).

מפשטים: $\;\dfrac38 + \dfrac{0.125}{3} + \dfrac b3 = \dfrac{5}{12} + \dfrac b3 \approx 0.4167 + \dfrac b3$

$D(0.7) = 0.7 - \dfrac{(4\cdot 0.7-2)^3 - b}{3}$

מפשטים: $\;0.7 - \dfrac{0.512}{3} + \dfrac b3 \approx 0.5293 + \dfrac b3$

אותו $\dfrac b3$ בשני הביטויים, ולכן ההשוואה אינה תלויה בו: $\;0.4167 < 0.5293$

המינימום בנקודה $\;t = \dfrac38 = 0.375$

מטבלת הסימנים בסעיף ב(1): $D$ יורדת מהקצה $t=0$, עולה, ואז יורדת עד $t=0.7$. לכן המקסימום המוחלט בקצה השמאלי $\;t=0$ או במקסימום המקומי $\;t=\dfrac58$.

$D(0) = 0 - \dfrac{(4\cdot 0-2)^3 - b}{3} = -\dfrac{-8-b}{3}$

מפשטים: $\;\dfrac83 + \dfrac b3 \approx 2.667 + \dfrac b3$

$D\!\left(\dfrac58\right) = \dfrac58 - \dfrac{(4\cdot\tfrac58-2)^3 - b}{3}$

מפשטים: $\;0.625 - \dfrac{0.5^3}{3} + \dfrac b3 = \dfrac{7}{12} + \dfrac b3 \approx 0.583 + \dfrac b3$

אותו $\dfrac b3$ בשני הביטויים ומתבטל בהשוואה: $\;\dfrac83 \approx 2.667 \;>\; \dfrac{7}{12} \approx 0.583$

המקסימום בקצה השמאלי: $\;t = 0$

בדיקה: $\;D(0)=\dfrac{8+b}{3}>0$ עבור $b>0$ ✓ (הקטע קיים, והנקודה $A$ מימין לנקודה $B$ כנדרש)