קיץ 2026 · מועד ב

נסמן $x$: ההסתברות לעבור את הריאיון בהינתן שעברו את שני המבחנים, ונסמן $H$: התקבל לעבודה. ההסתברות לעבור את מבחן ב׳ בהינתן שעברו את א׳ היא $2p$ ("גדולה פי $2$").

עץ שלבי הקבלה, מסומנים שני המסלולים שבנתון האחרון:

התקבל לעבודה (עבר את שלושת השלבים): $\;P(H) = p\cdot 2p\cdot x = 2p^2x$

עבר את שני המבחנים ונכשל בריאיון: $\;p\cdot 2p\cdot(1-x) = 2p^2(1-x)$

גדולה פי $3$: $\;2p^2x = 3\cdot 2p^2(1-x)\;\;\Big/:2p^2$ (מותר: $0<p<1$, ולכן $p\neq0$)

מאורע משלים ($H$: התקבל לעבודה): $\;P(H) = 1 - 0.94 = 0.06$

מהעץ בסעיף א (מסלול "התקבל"), עם $\;x=0.75$: $\;P(H) = 2p^2x = 2p^2\cdot 0.75 = 1.5p^2$

$p = -0.2$ נפסל (הסתברות אינה שלילית), ולכן $\;p = 0.2$

בדיקה:

$0<0.2<1$ ✓

$2p = 0.4\le 1$ ✓

$P(H) = 0.2\cdot 0.4\cdot 0.75 = 0.06$ ✓

נסמן $A$: עבר את מבחן א׳, $\;H$: התקבל לעבודה.

העץ עם $p=0.2$, $\;2p=0.4$, $\;x=0.75$ (סעיפים א, ב). מסומנים המסלולים "עבר את א׳ ולא התקבל":

לא התקבל (מסעיף ב): $\;P(\overline H) = 1-0.06 = 0.94$

מי שהתקבל בהכרח עבר את מבחן א׳, ולכן:

$P(A\cap\overline H) = P(A) - P(H) = 0.2 - 0.06 = 0.14$

(בעץ: סכום המסלולים המסומנים, $0.12+0.02 = 0.14$ ✓)

נוסחת ההסתברות המותנית:

$P(A\mid\overline H) = \dfrac{P(A\cap\overline H)}{P(\overline H)} = \dfrac{0.14}{0.94}$

מצמצמים: $\;\dfrac{14}{94} = \dfrac{7}{47} \approx 0.1489$

בדיקת סבירות: קטן מעט מההסתברות $P(A)=0.2$. הגיוני, כי הידיעה "לא התקבל" מושכת לכיוון מי שנפל כבר במבחן א׳ ✓

הבחירה מבין מי שלא התקבלו, ולכן ההסתברות שנבחר עבר את מבחן א׳ היא תוצאת סעיף ג: $\;\dfrac{7}{47} \approx 0.148936$

התפלגות בינומית, $n=5$. נסמן $X$: מספר הנבחרים שעברו את מבחן א׳.

הצלחה: $\;\dfrac{7}{47}$, כישלון: $\;\dfrac{40}{47} \approx 0.851064$

"לפחות שניים" דרך המשלים: $\;P(X\ge 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1)$

נוסחת ברנולי: $\;P(X=k) = \dbinom{5}{k}\left(\dfrac{7}{47}\right)^{k}\left(\dfrac{40}{47}\right)^{5-k}$

$P(X=0) = \dbinom{5}{0}\left(\dfrac{7}{47}\right)^{0}\left(\dfrac{40}{47}\right)^{5}$

מחשבים: $\;\left(\dfrac{40}{47}\right)^{5} \approx 0.446506$

$P(X=1) = \dbinom{5}{1}\left(\dfrac{7}{47}\right)^{1}\left(\dfrac{40}{47}\right)^{4}$

מחשבים: $\;5\cdot 0.148936\cdot 0.524623 \approx 0.390676$