קיץ 2026 · מועד ב

נסרטט לפי הנתונים:

$\angle ABC = \angle BCA = \angle CAB = 60^{\circ}$ ($\triangle ABC$ שווה-צלעות)

$\angle AEB = \angle ACB = 60^{\circ}$ (זוויות היקפיות הנשענות על המיתר $AB$; הקודקודים $E$, $C$ על אותה קשת)

$\angle BEC = \angle BAC = 60^{\circ}$ (זוויות היקפיות הנשענות על המיתר $BC$; הקודקודים $E$, $A$ על אותה קשת)

הנקודות $A$, $E$, $D$ על ישר אחד, ולכן שלוש הזוויות סביב $E$ יוצרות זווית שטוחה:

$\angle AEB + \angle BEC + \angle CED = 180^{\circ}$

מציבים: $\;60^{\circ} + 60^{\circ} + \angle CED = 180^{\circ}$

$\angle CED = 60^{\circ}$ מש״ל

נסרטט, עם הזוויות מסעיף א, ונסמן $\;\angle ABE = \alpha$:

$\angle ACE = \angle ABE = \alpha$ (זוויות היקפיות הנשענות על המיתר $AE$)

$\angle ACD = 180^{\circ} - \angle ACB = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ ($B$, $C$, $D$ על ישר אחד)

הקרן $CE$ בתוך הזווית $\angle ACD$: $\;\angle ECD = \angle ACD - \angle ACE = 120^{\circ} - \alpha$

סכום הזוויות במשולש $CED$, עם $\;\angle CED = 60^{\circ}$ (סעיף א):

$\angle CDE = 180^{\circ} - 60^{\circ} - \left(120^{\circ}-\alpha\right) = \alpha$

במשולשים $AEB$, $CED$:

$\angle AEB = \angle CED = 60^{\circ}$ (סעיף א)

$\angle ABE = \angle CDE = \alpha$

לפי משפט הדמיון ז.ז: $\;\triangle AEB \sim \triangle CED$, בהתאמה $A\leftrightarrow C$, $E\leftrightarrow E$, $B\leftrightarrow D$. מש״ל

מסעיף ב (ראו הסרטוט שם): $\;\triangle AEB \sim \triangle CED$, בהתאמה $A\leftrightarrow C$, $E\leftrightarrow E$, $B\leftrightarrow D$.

במשולשים דומים היחס בין זוגות צלעות מתאימות קבוע:

$\dfrac{AE}{CE} = \dfrac{EB}{ED} = \dfrac{AB}{CD}$

$AB = BC$ ($\triangle ABC$ שווה-צלעות)

מציבים: $\;\dfrac{AE}{CE} = \dfrac{AB}{CD} = \dfrac{BC}{CD}$ מש״ל

$\dfrac{S_{\triangle AEB}}{S_{\triangle CED}} = \left(\dfrac{AE}{CE}\right)^2 = 2.25$ (במשולשים דומים, סעיף ב, יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון)

מסעיף ג: $\;\dfrac{BC}{CD} = \dfrac{AE}{CE} = 1.5$

הקטעים $BE$, $CE$ מחלקים את $\triangle ABD$ לשלושה משולשים (מודגשים המשולשים $BEC$, $CED$, שבסיסיהם על הישר $BD$):

$S_{\triangle ABD} = S_{\triangle AEB} + S_{\triangle BEC} + S_{\triangle CED}$

למשולשים $BEC$, $CED$ גובה משותף מהקודקוד $E$ אל הישר $BD$, ולכן יחס השטחים הוא יחס הבסיסים:

$\dfrac{S_{\triangle BEC}}{S_{\triangle CED}} = \dfrac{BC}{CD} = 1.5$

נסמן $\;S = S_{\triangle CED}$:

$S_{\triangle AEB} = 2.25S$

$S_{\triangle BEC} = 1.5S$