קיץ 2026 · מועד ב

סימן: בסדרה הנדסית $\;a_{n+1}=a_n q$. אם $q<0$, כל איבר מחליף סימן ביחס לקודמו, בסתירה לכך שכל האיברים חיוביים.

$q>0$, ולכן טענה I נפסלת.

ירידה: $\;a_{n+1}<a_n\;\Rightarrow\;a_n q < a_n\;\;\Big/:a_n$

$q<1$ (חילקנו במספר החיובי $a_n$, ולכן סימן אי-השוויון נשמר). טענה III נפסלת.

משני התנאים: $\;0<q<1$, ולכן טענה II היא הנכונה.

המחשה: $a_1=8,\;q=\tfrac12$ נותנים $\;8,\,4,\,2,\,1,\ldots$ (חיובית ויורדת ✓)

בודקים שהיחס בין שני איברים עוקבים קבוע:

מונה: $\;a_{n+1}+a_{n+1}q+a_{n+1}q^2 = a_{n+1}\left(1+q+q^2\right)$

מכנה: $\;a_n+a_nq+a_nq^2 = a_n\left(1+q+q^2\right)$

מצמצמים את הגורם $1+q+q^2$:

הצמצום מותר: מסעיף א $\;0<q<1$, ולכן $\;1+q+q^2>0$; וגם $a_n>0$, ולכן $b_n>0$.

היחס קבוע ואינו תלוי במספר האיבר $n$, ולכן $b_n$ סדרה הנדסית שמנתה $q$. מש״ל

לשתי הסדרות אותה מנה $q$ (סעיף ב), ושתיהן אין-סופיות:

$S_a = \dfrac{a_1}{1-q}$

$S_b = \dfrac{b_1}{1-q}$

נתון $\;S_b = 1.96\,S_a$:

$\dfrac{b_1}{1-q} = 1.96\cdot\dfrac{a_1}{1-q}\;\;\Big/\cdot(1-q)$ (מותר: $0<q<1$, ולכן $1-q\neq0$)

לפי הגדרת $b_n$ עבור $n=1$: $\;b_1 = a_1+a_2+a_3 = a_1+a_1q+a_1q^2 = a_1\left(1+q+q^2\right)$

מציבים: $\;a_1\left(1+q+q^2\right) = 1.96\,a_1\;\;\Big/:a_1$ (מותר: $a_1>0$)

נוסחת השורשים: $\;q = \dfrac{-1\pm\sqrt{1 + 4\cdot 0.96}}{2} = \dfrac{-1\pm\sqrt{4.84}}{2} = \dfrac{-1\pm 2.2}{2}$

$q = 0.6\;$ או $\;q = -1.6$ (נפסל, כי לפי סעיף א $\;0<q<1$)

$q = 0.6$. בדיקה: $\;1+0.6+0.36 = 1.96$ ✓

מציבים את הגדרת $b_n$ במונה, ומביעים כל איבר באמצעות $a_n$ והמנה $q$ (כמו בסעיף ב):

מצמצמים (מותר: $a_n>0$ לכל $n$): $\;c_n = \dfrac{1+q+q^2}{4}$

הביטוי אינו תלוי במספר האיבר $n$, ולכן כל איברי הסדרה שווים זה לזה: הסדרה קבועה. מש״ל

מסעיף ג $\;1+q+q^2 = 1.96\;$, ולכן $\;c_n = \dfrac{1.96}{4} = 0.49\;$ לכל $n$.

מסעיף ד(1) כל איברי $c_n$ שווים לערך $0.49$. בסדרה קבועה הסכום הוא מספר האיברים כפול הערך הקבוע: $\;S_k = k\cdot 0.49$

$k = \dfrac{34.79}{0.49} = 71$ (מספר טבעי, כנדרש ממספר איברים ✓)

לאחר החלפת הסימנים: $\;0.49,\;-0.49,\;0.49,\;-0.49,\;\ldots$

במקום אי-זוגי $+0.49$, ובמקום זוגי $-0.49$.

מזווגים איברים לפי הסדר ($1$ עם $2$, $3$ עם $4$ וכן הלאה). כל זוג מסתכם באפס: $\;0.49 + (-0.49) = 0$

מסעיף ד(2) $\;k=71$, מספר אי-זוגי: $\;71 = 2\cdot 35 + 1$

$35$ זוגות שלמים ($70$ איברים) שסכומם $0$, ועוד איבר בודד.

$S_{71} = 35\cdot 0 + 0.49 = 0.49$ (האיבר האחרון נמצא במקום אי-זוגי, ולכן חיובי)

הכללה: הסכום של $k$ איברים הוא $0$ כאשר $k$ זוגי, והוא $0.49$ כאשר $k$ אי-זוגי.