פתרון בגרות 571 קיץ 2026 מועד ב, שאלה 6: חשבון דיפרנציאלי

סעיף א(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ .

סעיף א(2)

מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה $f(x)$ (אם יש כאלה). הביעו את תשובתכם באמצעות $a$ , אם יש צורך.

סעיף ב

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגן. הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ אם יש צורך.

כלל המנה עם $\;u = 6(x-1)^2\;$ , $\;v = x^2+a$ :

$u' = 12(x-1)$ (כלל השרשרת), $\;\;v' = 2x$
$f'(x) = \dfrac{12(x-1)\left(x^2+a\right) - 6(x-1)^2\cdot 2x}{\left(x^2+a\right)^2}$
גורם משותף $12(x-1)$ : $\;f'(x) = \dfrac{12(x-1)\Big[\left(x^2+a\right) - x(x-1)\Big]}{\left(x^2+a\right)^2}$
בסוגריים: $\;\left(x^2+a\right) - x^2 + x = x+a$ , ולכן:
$f'(x) = \dfrac{12(x-1)(x+a)}{\left(x^2+a\right)^2}$
$f'(x)=0 \;\Rightarrow\; x = 1\;$ או $\;x = -a$ (שתי נקודות שונות, כי $a>0$ ולכן $-a<0<1$ )

טבלת הסימנים (המכנה $\left(x^2+a\right)^2$ חיובי תמיד):

$x$	$x < -a$	קיצון $x = -a$	$-a < x < 1$	קיצון $x = 1$	$x > 1$
$x+a$	−	0	+	+	+
$x-1$	−	−	−	0	+
$f'(x)$	+	0max · מקסימום	−	0min · מינימום	+

בנקודה $x=-a$ הסימן עובר מחיובי לשלילי, ולכן שם מקסימום; בנקודה $x=1$ משלילי לחיובי, ולכן שם מינימום.

$f(1) = \dfrac{6(1-1)^2}{1+a} = 0$
$f(-a) = \dfrac{6(-a-1)^2}{(-a)^2+a} = \dfrac{6(a+1)^2}{a(a+1)} = \dfrac{6(a+1)}{a}$ (צמצום בביטוי $a+1$ , מותר כי $a>0$ )

מקסימום:

\;\left(-a,\;\dfrac{6(a+1)}{a}\right)

. מינימום:

\;(1,\,0)

.

סעיף ג

נתון כי שיעור ה- $y$ של נקודת המקסימום של הפונקציה $f(x)$ הוא $7.5$ . מצאו את הערך של $a$ .

סעיף ד

בעבור הערך של $a$ שמצאתם, סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ .

עבור $\;f(x)=\dfrac{6(x-1)^2}{x^2+4}$ (סעיפים א עד ג):

תחום הגדרה: כל $x$

אסימפטוטה: $y=6$ בלבד

מקסימום $(-4,\,7.5)$ , מינימום $(1,\,0)$
מונוטוניות (טבלת הסימנים בסעיף ב):

עולה: $\;x<-4$ וגם $\;x>1$

יורדת: $\;-4<x<1$
סימן: המונה $6(x-1)^2$ אי-שלילי והמכנה חיובי, ולכן $\;f(x)\ge 0$ לכל $x$ , עם שוויון רק בנקודה $x=1$ . הגרף נוגע בציר $x$ במינימום ואינו חוצה אותו.
חיתוך עם ציר $y$ : $\;f(0) = \dfrac{6(0-1)^2}{0+4} = \dfrac{6}{4} = 1.5$
צד ההתקרבות לאסימפטוטה:

$f(x) - 6 = \dfrac{6(x-1)^2 - 6\left(x^2+4\right)}{x^2+4}$

מפשטים: $\;\dfrac{6\left(x^2-2x+1-x^2-4\right)}{x^2+4} = \dfrac{6(-2x-3)}{x^2+4}$
המכנה חיובי, ולכן הסימן הוא סימן הביטוי $-2x-3$ :

$x<-1.5$ : $\;f>6$ (הענף השמאלי מעל האסימפטוטה)

$x>-1.5$ : $\;f<6$ (מתחת לאסימפטוטה)

חצייה יחידה של האסימפטוטה, בנקודה $(-1.5,\,6)$ .
הגרף משמאל לימין: מתקרב אל $y=6$ מלמעלה, עולה למקסימום $(-4,\,7.5)$ , יורד דרך הנקודות $(-1.5,\,6)$ , $(0,\,1.5)$ אל המינימום $(1,\,0)$ , ואז עולה אל $y=6$ מלמטה (ראו סקיצה).

עקומה אי-שלילית לכל

x

: מתקרבת אל

y=6

מלמעלה משמאל, עולה למקסימום

(-4,7.5)

, יורדת דרך

(-1.5,6)

,

(0,1.5)

אל המינימום

(1,0)

הנוגע בציר

x

, ואז עולה אל

y=6

מלמטה.

סעיף ה(1)

$f'(x)$ היא פונקציית הנגזרת של $f(x)$ , ו- $\;g(x) = \dfrac{-f'(x)}{\big(f(x)\big)^2}$ .

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$ .

סעיף ה(2)

מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה $g(x)$ .

עם $a=4$ , מסעיף ב: $\;f'(x) = \dfrac{12(x-1)(x+4)}{\left(x^2+4\right)^2}$
$\big(f(x)\big)^2 > 0$ בכל תחום ההגדרה (ריבוע של ביטוי שאינו אפס), ולכן הסימן של $g$ הוא סימן המונה $-f'(x)$ , הפוך לסימן של $f'$ .

טבלת הסימנים (סימני $f'$ מסעיף ב, עם $-a=-4$ ):

$x$	$x < -4$	מתאפסת $x = -4$	$-4 < x < 1$	מחוץ לתחום $x = 1$	$x > 1$
$f'(x)$	+	0	−	0	+
$g(x)$	$g<0$	0	$g>0$	אינה מוגדרת	$g<0$

בנקודה $x=-4$ מתקיים $f'=0$ ולכן $g=0$ ; הנקודה $x=1$ אינה בתחום ההגדרה.

חיובית:

\;-4<x<1

. שלילית:

\;x<-4\;

וגם

\;x>1

. (בנקודה

x=-4

מתקיים

g=0

.)

סעיף ה(3)

חשבו את השטח המוגבל על-ידי גרף הפונקציה $g(x)$ ועל-ידי ציר ה- $x$ בתחום $\;-a \le x \le 0$ .