קיץ 2026 · מועד א

התחום $\;-\pi\le x\le\pi\;$ סימטרי ביחס לראשית, ולכן יש טעם לבדוק זוגיות.

$f(-x) = \big(1+\cos(-x)\big)\big(-1 + b\cos(-x)\big) = (1+\cos x)(-1 + b\cos x)\;$ — הקוסינוס זוגי, $\;\cos(-x)=\cos x$.

$f(-x) = f(x)\;$ לכל $x$ בתחום.

לפי ההגדרה הפונקציה זוגית — הגרף סימטרי ביחס לציר $y$.

$f(x)=0\;\Rightarrow\;(1+\cos x)(-1 + b\cos x) = 0\;$ — מכפלה מתאפסת כאשר אחד הגורמים מתאפס.

$1+\cos x = 0 \;\Rightarrow\; \cos x = -1 \;\Rightarrow\; x = \pi + 2\pi k\;$, $\;k$ שלם.

בתחום $\;-\pi\le x\le\pi\;$: $\;x = \pi\;$ ($k=0$) ו-$\;x = -\pi\;$ ($k=-1$).

$-1 + b\cos x = 0 \;\Rightarrow\; \cos x = \dfrac{1}{b} > 1\;$ (כי $\;0<b<1$) — אין פתרון, שהרי $\;-1\le\cos x\le 1$.

נקודות החיתוך עם ציר $x$: $\;(-\pi,\,0)\;$ ו-$\;(\pi,\,0)$ — סימטריות ביחס לציר $y$, כמתחייב מסעיף א ✓

כלל המכפלה, עם $u = 1+\cos x$ ($u' = -\sin x$) ועם $v = -1+b\cos x$ ($v' = -b\sin x$):

מוציאים גורם משותף $-\sin x$:

$f'(x) = -\sin x\,\big(2b\cos x + b - 1\big)$

תנאי הקיצון: $f'\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=0$

ערכים: $\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt3}{2}$

$\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac12$

מציבים:

$-\dfrac{\sqrt3}{2}\left(2b\cdot\dfrac12 + b - 1\right) = 0$

$\dfrac{\sqrt3}{2}\neq 0$, ולכן:

$2b - 1 = 0$

$b = \dfrac12$ (מקיים $0<b<1$ ✓)

$f'(x)=0$, מכפלה מתאפסת:

$\sin x = 0 \;\Rightarrow\; x = \pi k \;\Rightarrow\; x = -\pi,\; 0,\; \pi$ (בתחום)

$\cos x = \dfrac12 \;\Rightarrow\; x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k \;\Rightarrow\; x = \pm\dfrac{\pi}{3}$ (בתחום)

טבלת הסימנים של $f'(x) = -\sin x\left(\cos x - \tfrac12\right)$ בתחום:

$\left(\pm\dfrac{\pi}{3},\,-\dfrac98\right)$: מינימום (יורדת ואחר כך עולה).

$\left(0,\,-1\right)$: מקסימום מקומי (עולה ואחר כך יורדת).

$\left(\pm\pi,\,0\right)$: מקסימום קצה, כי התחום סגור (מימין לנקודה $-\pi$ הפונקציה יורדת, ומשמאל לנקודה $\pi$ היא עולה).

חמש הנקודות מסעיף ד(1), משמאל לימין:

$(-\pi,0)$, $\left(-\tfrac{\pi}{3},-\tfrac98\right)$

$(0,-1)$

$\left(\tfrac{\pi}{3},-\tfrac98\right)$, $(\pi,0)$

חיתוך עם ציר $y$: $f(0) = -1$. חיתוך עם ציר $x$: רק בקצוות (סעיף ב).

חיבור לפי המונוטוניות: יורדת מהנקודה $(-\pi,0)$ אל המינימום השמאלי, עולה אל $(0,-1)$, יורדת אל המינימום הימני, ועולה אל $(\pi,0)$.

ערך המקסימום בתחום הוא $0$ ומתקבל רק בקצוות, ולכן $\;f(x)\le 0\;$ לכל $x$ בתחום — כל הגרף מתחת לציר $x$ (נשתמש בכך בסעיף ה).

הגרף סימטרי ביחס לציר $y$ (סעיף א) — צורת "W" רדודה בחצי המישור התחתון.

מסעיף ד: הערך הגדול ביותר של $f$ בתחום מתקבל בקצוות והוא $\;0$, ולכן $\;f(x) \le 0\;$ לכל $x$ בתחום.

הביטוי אינו חיובי, ולכן לפי הגדרת הערך המוחלט $\;\big|f(x)\big| = -f(x)$.

$h(x) = f(x) + \big|f(x)\big| = f(x) - f(x) = 0\;$ לכל $x$ בתחום.

גרף $h$ הוא הקטע של ציר ה-$x$ מ-$\;x=-\pi\;$ עד $\;x=\pi$, ולכן שיעור ה-$y$ של $A$ הוא $0$ — בלי תלות במיקומה.