קיץ 2026 · מועד א

נסמן: $A$ נבחר שק א׳, $B$ נבחר שק ב׳. הבחירה אקראית: $P(A)=P(B)=\dfrac12$.

ההוצאה עם החזרה, ולכן הרכב השק אינו משתנה ובשתי ההוצאות אותה הסתברות. העץ, מסלולי "שני רכים" מסומנים:

שני רכים משק א׳: $\left(\dfrac{4}{10}\right)^2 = 0.16$

שני רכים משק ב׳: $\left(\dfrac{x}{12}\right)^2 = \dfrac{x^2}{144}$

נוסחת ההסתברות השלמה (סכום המסלולים המסומנים):

$\dfrac12\cdot 0.16 + \dfrac12\cdot\dfrac{x^2}{144} = \dfrac{41}{200} = 0.205$

$x = 6$ ($x=-6$ נפסל, מספר כדורים אינו שלילי)

בדיקה: $0 \le 6 \le 12$ ✓. בשק ב׳ יש $6$ כדורים רכים וגם $6$ קשים.

מסעיף א, בשק ב׳ יש $6$ רכים מתוך $12$: ההסתברות לרך או לקשה היא $\dfrac12$. בשק א׳: רך $0.4$, קשה $0.6$.

נסמן: $D$ שני הכדורים מאותו הסוג (שני רכים או שני קשים). העץ, מסלולי $D$ מסומנים:

שני רכים:

$\dfrac12(0.4)^2 + \dfrac12\left(\dfrac12\right)^2 = 0.08 + 0.125 = 0.205$

שני קשים:

$\dfrac12(0.6)^2 + \dfrac12\left(\dfrac12\right)^2 = 0.18 + 0.125 = 0.305$

המונה, רק המסלולים המסומנים דרך שק א׳:

$P(A \cap D) = \dfrac12(0.4)^2 + \dfrac12(0.6)^2 = 0.08 + 0.18 = 0.26$

הסתברות מותנית:

$P(A \mid D) = \dfrac{P(A\cap D)}{P(D)} = \dfrac{0.26}{0.51} = \dfrac{26}{51} \approx 0.5098$

כל חזרה מסתיימת ב"הצלחה" (שני הכדורים קשים) או ב"כישלון", והחזרות בלתי תלויות: התפלגות בינומית עם $n=4$, $k=2$.

הסתברות ההצלחה בחזרה בודדת (שני קשים, מסעיף ב):

$p = 0.305 = \dfrac{61}{200}$

$1-p = 0.695 = \dfrac{139}{200}$

נוסחת ברנולי:

$P_4(2) = \dbinom{4}{2}\,p^2\,(1-p)^{2}$

$\dbinom{4}{2} = \dfrac{4!}{2!\,2!} = 6$

הצבה:

$P_4(2) = 6\cdot(0.305)^2\cdot(0.695)^2 = 6 \cdot 0.093025 \cdot 0.483025$

נסמן: $H$ חזרה עם שני קשים, $S$ חזרה עם שני רכים.

$p_H = 0.305$ (מסעיף ב)

$p_S = 0.205$ (הנתון בשאלה)

המאורע: מבין $4$ החזרות בדיוק $2$ מסוג $H$ ובדיוק $2$ מסוג $S$ (אין חזרה מעורבת).

סדר מסוים, למשל $H,H,S,S$ (מכפלה, כי החזרות בלתי תלויות):

$(0.305)^2\cdot(0.205)^2$

מספר הסדרים (בוחרים אילו $2$ מתוך $4$ החזרות יהיו מסוג $H$):

$\dbinom{4}{2} = \dfrac{4!}{2!\,2!} = 6$