קיץ 2026 · מועד א

נסרטט לפי הנתונים:

$\triangle ABC$ שווה-שוקיים ($AB = BC = k$), ולכן זוויות הבסיס שוות: $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$.

$\angle ABC = 180^{\circ} - 2\alpha$ (סכום זוויות במשולש)

משפט הסינוסים במשולש $ABC$ (הצלע $AC$ מול $\angle ABC$, הצלע $AB$ מול $\angle ACB$):

$\dfrac{AC}{\sin(180^{\circ}-2\alpha)} = \dfrac{k}{\sin\alpha}$

בתחום $0^{\circ}<\alpha<90^{\circ}$ מתקיים $\sin\alpha \neq 0$, ולכן מותר לצמצם:

$AC = \dfrac{2k\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha} = 2k\cos\alpha$ מש״ל

הנתונים החדשים בסרטוט:

$AB \parallel DC$ והישר $AC$ חותך אותם, ולכן $\angle ACD = \angle BAC = \alpha$ (זוויות מתחלפות).

משפט הקוסינוסים במשולש $ADC$ מול הצלע $AD$ (הזווית $\alpha$ כלואה בין $AC = 2k\cos\alpha$ לבין $DC = 2k$):

$(1.2k)^2 = (2k\cos\alpha)^2 + (2k)^2 - 2\cdot(2k\cos\alpha)(2k)\cos\alpha$

$1.44k^2 = 4k^2\cos^2\alpha + 4k^2 - 8k^2\cos^2\alpha\;\;\Big/ :k^2$ (מותר, $k \neq 0$ כי $k$ אורך צלע)

$\cos\alpha = 0.8$ (הפתרון $\cos\alpha = -0.8$ נפסל: בתחום $0^{\circ}<\alpha<90^{\circ}$ הקוסינוס חיובי)

$\alpha = \cos^{-1}(0.8) \approx 36.87^{\circ}$

(לשימוש בהמשך: $\sin\alpha = 0.6$, $AC = 1.6k$)

מסעיף ב $AC = 2k\cdot 0.8 = 1.6k$. צלעות המשולש $ADC$:

לפי משפט פיתגורס ההפוך המשולש ישר-זווית, והזווית הישרה מול הצלע הארוכה $DC$: $\;\angle DAC = 90^{\circ}$.

דרך חלופית: משפט הקוסינוסים, בלי לזהות את הזווית הישרה:

$\angle ADC = \cos^{-1}(0.6) \approx 53.13^{\circ}$ ✓

בדיקה: $\;90^{\circ} + 53.13^{\circ} + 36.87^{\circ} = 180^{\circ}$ ✓

המשולש $EDC$ והמעגל החסום בו ($I$ מרכז המעגל):

שלב 1: זוויות המשולש $EDC$. הנקודה $A$ על הקטע $DE$ והנקודה $B$ על הקטע $CE$, ולכן:

$\angle EDC = \angle ADC \approx 53.13^{\circ}$ (סעיף ג)

$\angle DCE = \angle DCA + \angle ACB = \alpha + \alpha = 2\alpha \approx 73.74^{\circ}$

($\angle DCA = \alpha$ מתחלפות, סעיף ב; $\angle ACB = \alpha$ נתון)

מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות: $CE = CD = 2k$.

שלב 2: הצלע $DE$. משפט הסינוסים במשולש $EDC$, עם הערכים המדויקים:

$\sin 2\alpha = 2(0.6)(0.8) = 0.96$

$\sin(\angle DEC) = \sin(53.13^{\circ}) = 0.8$

שלב 3: שטח וחצי היקף.

$S_{\triangle EDC} = \dfrac{1}{2}\cdot DC\cdot CE\cdot\sin(\angle DCE) = \dfrac12 (2k)(2k)(0.96) = 1.92k^2$

לכל משולש $S = r\cdot p$:

$1.92k^2 = r \cdot 3.2k$

$r = 0.6k$

נתון $r = 14$:

$0.6k = 14$

$k = \dfrac{14}{0.6} = \dfrac{70}{3} \approx 23.33$