קיץ 2026 · מועד א

נסרטט לפי הנתונים:

הנקודה $K$ על $CO$, והנקודה $E$ על $BO$. לכן $\angle KOE = \angle COB$ (אותה זווית), ונסמן אותה $2\alpha$.

משולש ראשון: $\triangle KOE$ שווה-שוקיים, כי $OK = OE$ (צלעות הדלתון). זוויות הבסיס שוות:

$\angle OEK = \angle OKE = \dfrac{180^{\circ} - 2\alpha}{2} = 90^{\circ} - \alpha$

משולש שני: $\triangle COB$ שווה-שוקיים, כי $OC = OB$ (רדיוסים), ובעל אותה זווית ראש $2\alpha$:

$\angle OBC = \angle OCB = \dfrac{180^{\circ} - 2\alpha}{2} = 90^{\circ} - \alpha$

$\angle OEK = \angle OBC = 90^{\circ}-\alpha$

אלה זוויות מתאימות בין הישר $EK$ לישר $BC$, עם החותך $OB$.

זוויות מתאימות שוות, ולכן $EK \parallel BC$. מש״ל

נוסיף לסרטוט את $OM$ ואת $AC$ (וההקבלה מסעיף א):

אלכסוני הדלתון $EMKO$ הם $OM$ וגם $KE$, ובדלתון האלכסונים מאונכים: $OM \perp KE$

מסעיף א $EK \parallel BC$. ישר המאונך לאחד משני ישרים מקבילים מאונך גם לשני: $OM \perp BC$

הקטע $AB$ קוטר והנקודה $C$ על המעגל, ולכן $\angle ACB = 90^{\circ}$ (זווית היקפית הנשענת על קוטר).

כלומר $AC \perp BC$.

שני הישרים $OM$, $AC$ מאונכים לאותו ישר $BC$, ושני ישרים המאונכים לאותו ישר מקבילים זה לזה.

$OM \parallel AC$ מש״ל

שתי ההקבלות (סעיפים א, ב) ושני המשולשים הדומים של שלב 2:

שלב 1: דמיון סביב $O$. במשולשים $\triangle OEK$, $\triangle OBC$ הזווית שבקודקוד $O$ משותפת.

$\angle OEK = \angle OBC$ (מתאימות, סעיף א)

לכן $\triangle OEK \sim \triangle OBC$ (ז.ז).

יחס הדמיון:

$\dfrac{OK}{OC} = \dfrac{OE}{OB} = \dfrac{EK}{BC} = \dfrac{3}{5}$

הנקודה $K$ על $OC$:

$KC = OC - OK = OC - \dfrac{3}{5}OC = \dfrac{2}{5}OC$

$\dfrac{OK}{KC} = \dfrac{\tfrac35 OC}{\tfrac25 OC} = \dfrac{3}{2}$

שלב 2: דמיון סביב $K$ (המשולשים המסומנים).

$\angle MKO = \angle AKC$ (זוויות קודקודיות)

$\angle OMK = \angle CAK$ (זוויות מתחלפות, $OM \parallel AC$ מסעיף ב, החותך $AM$)

$\triangle MOK \sim \triangle ACK$ (ז.ז), ולכן:

$\dfrac{OM}{AC} = \dfrac{OK}{CK} = \dfrac{3}{2} = 1.5$

הדלתון (שטחו $S$) והמשולש $AOC$ המסומן:

שלב 1: חצי דלתון. האלכסון $OM$ מחלק את הדלתון לשני משולשים חופפים: $\triangle OKM \cong \triangle OEM$ (צ.צ.צ: $OK = OE$, $MK = ME$, $OM$ משותפת). משולשים חופפים שווי-שטח:

$S_{\triangle MOK} = \dfrac{S}{2}$

שלב 2: יחס שטחים בדמיון. מסעיף ג $\triangle MOK \sim \triangle ACK$ ביחס דמיון $\dfrac{3}{2}$, ויחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון:

שלב 3: גובה משותף. למשולשים $\triangle AOK$, $\triangle ACK$ אותו גובה מהקודקוד $A$ אל הישר $OC$, ולכן יחס שטחיהם הוא יחס הבסיסים $\dfrac{OK}{KC} = \dfrac{3}{2}$:

$S_{\triangle AOK} = \dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{2S}{9} = \dfrac{3S}{9}$

הנקודה $K$ על $OC$, ולכן הקטע $AK$ מחלק את $\triangle AOC$ לשני המשולשים האלה:

$S_{\triangle AOC} = S_{\triangle AOK} + S_{\triangle ACK} = \dfrac{3S}{9} + \dfrac{2S}{9} = \dfrac{5S}{9}$