קיץ 2026 · מועד א

הטענה:

בסיס ($n=1$):

אגף שמאל: $\dfrac{1^2}{1\cdot 3} = \dfrac{1}{3}$

אגף ימין: $\dfrac{1\cdot(1+1)}{2(2\cdot 1+1)} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ ✓

הנחה ($n=k$):

צעד ($n=k+1$). צריך להראות שהסכום שווה לביטוי:

שכן במקום $n$ מציבים $k+1$: $2\big(2(k+1)+1\big) = 2(2k+3)$.

האיבר שמספרו $k+1$ (מציבים $i=k+1$):

מוסיפים אותו לשני אגפי ההנחה.

מכנה משותף:

מוציאים גורם משותף $(k+1)$:

פירוק הטרינום (שורשיו $-\tfrac12$ וגם $-2$):

$2k^2+5k+2 = (2k+1)(k+2)$

מצמצמים בגורם $(2k+1)\neq 0$ (כי $k\ge 1$):

זה בדיוק אגף ימין של הטענה עבור $n=k+1$.

הטענה נכונה עבור $n=1$, ומנכונותה עבור $k$ נובעת נכונותה עבור $k+1$. לפי עקרון האינדוקציה היא נכונה לכל $n$ טבעי. מש״ל

עבור ספר שנבחר באקראי נסמן: $A$ ספר קומיקס, $B$ ספר בעברית.

נתון: $P(A) = 0.6$, $P(B) = 0.7$, ולכן $P(\bar B) = 0.3$ (אנגלית).

נניח בשלילה שהטענה נכונה: $P(A \cap B) = 0$. ממלאים טבלה דו-ממדית לפי ההנחה:

כל ספרי הקומיקס באנגלית: $P(A \cap \bar B) = P(A) = 0.6$

אבל זה חלק מספרי האנגלית: $P(A \cap \bar B) \le P(\bar B) = 0.3$

קיבלנו $0.6 \le 0.3$ (ובטבלה ספרי עיון באנגלית יוצאים שליליים). סתירה.

למעשה, מהחסם $P(A \cap B) \ge P(A) + P(B) - 1$:

$P(A \cap B) \ge 0.6 + 0.7 - 1 = 0.3$

כלומר לפחות $30\%$ מן הספרים הם קומיקס בעברית.

מסקנה: הטענה אינה נכונה.

אותם סימונים: $A$ קומיקס, $B$ עברית, $P(A)=0.6$, $P(B)=0.7$.

נסמן $p = P(A \cap B)$. מסעיף I: $p \ge 0.3 > 0$.

"ספר בעברית מבין ספרי הקומיקס" (התניה על $A$):

$P(B \mid A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{p}{0.6}$

"ספר קומיקס מבין הספרים שבעברית" (התניה על $B$):

$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{p}{0.7}$

אותו מונה חיובי $p$ בשני השברים, והמכנה $0.6 < 0.7$:

כלומר $P(B \mid A) > P(A \mid B)$.

מסקנה: הטענה נכונה.

$g$ היא שבר, ולכן מוגדרת רק כאשר המכנה אינו מתאפס: $\;\big(f(x)\big)^2 \neq 0\;$, כלומר $\;f(x) \neq 0$.

$f$ מוגדרת לכל $x$, ויש לה נקודת חיתוך אחת בלבד עם ציר $x$, בנקודה $(12,0)$.

לכן $f(x)=0$ רק כאשר $x=12$.

תחום ההגדרה: כל $x$ פרט לערך $x=12$.

קריאת הגרף הנתון: $f$ עולה מהאסימפטוטה $y=0$ אל המקסימום $(6,a)$, יורדת דרך $(12,0)$ אל המינימום $(18,-2a)$, ועולה חזרה אל $y=0$.

לכן $f>0$ עבור $x<12$, וכן $f<0$ עבור $x>12$.

שלב א: הריבוע $u=f^2$. הריבוע הופך הכול לאי-שלילי, והקיצון השלילי "מתהפך" כלפי מעלה.

שני מקסימומים מקומיים של $u$:

$u(6)=a^2$

$u(18)=(-2a)^2=4a^2$ (הימני גבוה יותר)

מינימום מוחלט: $u(12)=0$. בקצוות $f\to 0$, ולכן $u\to 0^{+}$.

שלב ב: ההיפוך $g=\dfrac{1}{u}$. כאשר $u$ קטֵנה, $g$ גדֵלה, ולהפך.

כאשר $u\to 0^{+}$ מקבלים $g\to +\infty$: משני צידי $x=12$ וגם בקצוות.

לכן $x=12$ היא אסימפטוטה אנכית, ואין לפונקציה $g$ אסימפטוטה אופקית.

המקסימומים של $u$ הופכים למינימומים של $g$:

$g(6)=\dfrac{1}{a^2}$

$g(18)=\dfrac{1}{4a^2}$

הימני נמוך יותר, כי $4a^2>a^2$ ולכן $\dfrac{1}{4a^2}<\dfrac{1}{a^2}$.

$g(x)>0$ בכל התחום (מכנה בריבוע).

התוצאה: שני ענפים בצורת "U" משני צידי $x=12$, שניהם מעל ציר $x$. ראו את הסקיצה.

גובה הישר: $c=\dfrac{a}{27}$. מהסקיצה, שני ענפי "U":

מינימום שמאלי: $m_1=\dfrac{1}{a^2}$

מינימום ימני: $m_2=\dfrac{1}{4a^2}$ (נמוך יותר, $m_2<m_1$)

כל ענף יורד מאינסוף אל המינימום שלו ועולה חזרה, ולכן ישר אופקי חותך ענף בודד בנקודה אחת, בשתיים או באף אחת:

בדיוק $3$ נקודות רק כאשר $c=m_1$: השקה למינימום השמאלי ועוד שני חיתוכים בענף הימני.

$\dfrac{a}{27} = \dfrac{1}{a^2}$ (כפל צולב מותר: $a>1$ ולכן $a\neq 0$)

$a^3 = 27$

$a = 3$

בדיקת התנאי $a>1$: $3>1$ ✓

$g$ היא הפונקציה הקדומה של $f$:

נסמן $u = x^3-8$, ואז $u' = 3x^2$.

לכן $-30x^2 = -10\cdot 3x^2 = -10\,u'$.

לפי הכלל $\int u'u^{n}\,dx = \dfrac{u^{n+1}}{n+1}$:

$g(x) = \dfrac{10}{x^3-8} + C$

מציבים את הנקודה $(0,\,0.75)$:

$\dfrac{10}{0^3-8} + C = 0.75$

$-1.25 + C = 0.75$

$C = 2$

$g(x) = \dfrac{10}{x^3-8} + 2$, בתחום $x\neq 2$.

בדיקה (גוזרים ומקבלים את $f$ ✓):

(1) אסימפטוטות של $g(x)=\dfrac{10}{x^3-8}+2$:

המכנה מתאפס כאשר $x^3=8$, כלומר $x=2$, והמונה אינו מתאפס. אסימפטוטה אנכית: $x=2$.

כאשר $x\to\pm\infty$: $\dfrac{10}{x^3-8}\to 0$, ולכן $g\to 2$. אסימפטוטה אופקית: $y=2$.

משמאל המכנה שלילי, ולכן $g\to 2^{-}$ (מלמטה); מימין $g\to 2^{+}$ (מלמעלה).

(2) טבלת הסימנים של $g'(x)=f(x)=\dfrac{-30x^2}{\left(x^3-8\right)^2}$:

$g$ יורדת בכל אחד משני הענפים, ואין לה נקודות קיצון.

(3) משיק אופקי: $g'(x)=0$ רק בנקודה $x=0$, ושם הנגזרת אינה מחליפה סימן. זו נקודת פיתול עם משיק אופקי ("מדף" שטוח), בגובה $g(0)=0.75>0$, כלומר מעל ציר $x$.

(4) חיתוך עם ציר $x$:

$\dfrac{10}{x^3-8}+2 = 0$

$x^3-8 = -5$

$x^3 = 3$

$x = \sqrt[3]{3} \approx 1.44$ (בין ציר $y$ לאסימפטוטה $x=2$)

III ו-IV מכילים קטעים עולים, בסתירה ל-(2). נפסלים.

בגרף II הענף השמאלי יורד ברציפות בלי משיק אופקי, וחוצה את ציר $x$ משמאל לציר $y$, בסתירה ל-(3) ו-(4). נפסל.

גרף I מקיים הכול: ענף שמאלי שיורד מתחת לאסימפטוטה $y=2$, "מדף" שטוח מעל ציר $x$ בסביבת $x=0$, חיתוך עם ציר $x$ בתחום $0<x<2$, וצניחה אל $-\infty$ כאשר $x\to 2^{-}$. הענף הימני יורד מאינסוף אל $y=2$ מלמעלה.