קיץ 2021 · מועד ב

אפסים: $\;ax^2 - x^3 = x^2(a - x) = 0 \;\Rightarrow\; x = 0 \;,\;\; x = a$.

נבדוק את סימן $f$ בנקודה מכל תחום:

נגזרת: $\;f^{\prime}(x) = 2ax - 3x^2 = x(2a - 3x) = 0 \;\Rightarrow\; x = 0 \;,\;\; x = \tfrac{2a}{3}$.

$f^{\prime}$ עוברת משלילית לחיובית ואז לשלילית.

לכן מינימום ב-$(0,0)$ ומקסימום ב-$\bigl(\tfrac{2a}{3},\,\tfrac{4a^3}{27}\bigr)$.

הגרף בא מ-$+\infty$ (כש-$x\to-\infty$), יורד למינימום $(0,0)$, עולה למקסימום, ויורד דרך $(a,0)$ אל $-\infty$.

$g$ מוגדרת כאשר $\;f(x) > 0$.

מסעיף א1: $\;f(x) > 0$ עבור $\;x < 0\;$ או $\;0 < x < a$.

אסימפטוטות אנכיות: כאשר $f(x) \to 0^+$ מתקיים $\ln(f) \to -\infty$.

$f \to 0^+$ כש-$x \to 0$ (משני הצדדים) וכש-$x \to a^-$, ולכן יש אסימפטוטות אנכיות $\;x = 0\;$ ו-$\;x = a$.

אסימפטוטה אופקית: כש-$x \to -\infty$, $\;f = ax^2 - x^3 \to +\infty$, ולכן $\;g = \ln(f) \to +\infty$ — אין אסימפטוטה אופקית.

נאפס את המונה: $\;2ax - 3x^2 = 0$

$x = 0$ או $x = \tfrac{2a}{3}$

הפתרון $x = 0$ אינו בתחום ההגדרה — נפסל.

הנגזרת עולה לפני $x=\tfrac{2a}{3}$ ויורדת אחריו — נקודת מקסימום.

בענף $\;x < 0$: $\;g$ יורדת מ-$+\infty$ (כש-$x\to-\infty$) ל-$-\infty$ (כש-$x\to0^-$) — חותכת את ציר $x$ פעם אחת.

בענף $\;0 < x < a$: "כיפה" העולה מ-$-\infty$ למקסימום $\;\ln\tfrac{4a^3}{27}$ (ב-$x=\tfrac{2a}{3}$) ויורדת ל-$-\infty$, עם אסימפטוטות אנכיות $x=0,\ x=a$.

נתון חיתוך יחיד עם ציר $x$, ולכן ה"כיפה" כולה מתחת לציר (המקסימום שלה שלילי).

הענף $x<0$ נותן תמיד חיתוך אחד. לחיתוך יחיד בסך הכול — ה"כיפה" שמעל $(0,a)$ כולה מתחת לציר, כלומר המקסימום שלילי:

מכיוון ש-$a > 0$: $\;0 < a < \dfrac{3}{\sqrt[3]{4}}$.

עם $a=0$: $\;g(x) = \ln(-x^3)$.

תחום ההגדרה: $\;-x^3 > 0 \;\Rightarrow\; x < 0$ (כי $x^3 < 0$).

אסימפטוטה אנכית: כש-$x \to 0^-$, $\;-x^3 \to 0^+$, ולכן $\;g \to -\infty$ — אסימפטוטה $x = 0$.

חיתוך עם ציר $x$: $\;g(x) = 0 \;\Rightarrow\; -x^3 = 1$.

$x^3 = -1 \;\Rightarrow\; x = -1$, כלומר $(-1,\,0)$.

כש-$x \to -\infty$: $\;-x^3 \to +\infty$ ו-$g \to +\infty$. הגרף יורד מ-$+\infty$ דרך $(-1,0)$ אל $-\infty$.