קיץ 2021 · מועד ב

נציב את $\;y^2 = 2ax\;$ במשוואת המעגל $\;x^2 + y^2 - 2ax - 2x = 0$:

השיפוע חיובי, ולכן הישר עובר דרך $\;(0,\,0)\;$ ודרך $\;(2,\,2\sqrt{a})$.

נכתוב את משוואת המעגל בצורה תקנית. נקבץ את אברי ה-$x$ ($-2ax - 2x = -2(a+1)x$) ונשלים לריבוע (נוסיף $(a+1)^2$ לשני האגפים):

מרכז המעגל: $\;(a+1,\,0)$

רדיוס המעגל: $\;R = a+1$

נכתוב את הישר כ-$\;\sqrt{a}\,x - y = 0\;$ ונחשב את המרחק מהמרכז $\;(a+1,\,0)\;$ אליו:

נעלה את שני האגפים בריבוע: $\;20 = \dfrac{a\,(a+1)^2}{a+1}$

מכיוון ש-$a > 0$: $\;a = 4$.

המרכז זהה למרכז המעגל הנתון: $\;(a+1,\,0) = (5,\,0)$.

הרדיוס קטן ב-$2$ מרדיוס המעגל הנתון: $\;5 - 2 = 3$.

משוואת המעגל החדש: $\;(x-5)^2 + y^2 = 9$.

נסמן נקודה כללית $\;(x,\,y)$. המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה, ולפי משפט פיתגורס:

המרחק מהנקודה אל הישר $\;x = -4\;$ הוא $\;x + 4$.

נשווה את אורך המשיק למרחק מן הישר: $\;x + 4 = \sqrt{(x-5)^2 + y^2 - 9}$

נעלה את שני האגפים בריבוע: $\;(x+4)^2 = (x-5)^2 + y^2 - 9$

נצמצם $\;x^2\;$ ונסדר: $\;8x + 16 = -10x + 16 + y^2$