קיץ 2021 · מועד ב

חיתוך עם ציר $y$: $\;f(0) = e^{0} - 1 = 0 \;\Rightarrow\; (0,\,0)$.

חיתוך עם ציר $x$: $\;e^{bx^2 - 2bx} - 1 = 0 \;\Rightarrow\; e^{bx^2 - 2bx} = e^{0}$.

נכתוב את המעריך כ-$\;b(x^2 - 2x)$ ונבדוק את הגבולות.

$\lim_{x\to\infty} \bigl(e^{b(x^2 - 2x)} - 1\bigr) = e^{-\infty} - 1 = 0 - 1 = -1$ (כי $b<0$, המעריך $\to -\infty$).

נגזרת: $\;f^{\prime}(x) = e^{bx^2 - 2bx}\cdot(2bx - 2b)$.

האקספוננט לעולם אינו מתאפס, לכן $\;2bx - 2b = 0 \;\;|\,:2b \;\Rightarrow\; x = 1$.

בדיקת סימן (האקספוננט חיובי, נבדוק את $2bx - 2b$): $\;f^{\prime}(\tfrac{1}{2}) = b - 2b = -b > 0$, $\;f^{\prime}(2) = 4b - 2b = 2b < 0$.

הנגזרת עולה לפני $x=1$ ויורדת אחריו — מקסימום.

ערך הקיצון: $\;f(1) = e^{b - 2b} - 1 = e^{-b} - 1$.

הערך חיובי, כי $b<0$ ולכן $e^{-b} > 1$.

הגרף עולה מן האסימפטוטה $y=-1$ (משמאל), עובר ב-$(0,0)$, מגיע למקסימום $\;(1,\,e^{-b}-1)$, יורד דרך $(2,0)$, ושואף שוב ל-$y=-1$ (מימין).

הקיצון של $f$ ב-$x=1$, ולכן הקיצון של $g(x)=f(x+a)$ הוא ב-$\;x + a = 1$, כלומר $\;x = 1 - a$.

הקיצון על ציר $y$, כלומר $\;x = 0$: $\;1 - a = 0 \;\Rightarrow\; a = 1$.

המעריך: $\;b\bigl[(x+1)^2 - 2(x+1)\bigr] = b(x+1)(x-1) = b(x^2 - 1)$.

מתקיים $\;g(-x) = g(x)\;$ לכל $x$.

מקסימום על ציר $y$: $\;g(0) = e^{-b} - 1$, בנקודה $\;(0,\,e^{-b}-1)$.

חיתוך עם ציר $x$: $\;b(x^2 - 1) = 0 \;\Rightarrow\; x = \pm 1$, כלומר $(\pm 1,\,0)$.

אסימפטוטה אופקית $\;y = -1$, והגרף סימטרי ביחס לציר $y$.

נגזרת ראשונה: $\;g^{\prime}(x) = 2bx\,e^{b(x^2 - 1)}$.

נגזרת שנייה (כלל המכפלה): $\;g^{\prime\prime}(x) = 2b\,e^{b(x^2-1)} + 2bx\cdot 2bx\,e^{b(x^2-1)} = e^{b(x^2-1)}\bigl(2b + 4b^2x^2\bigr)$.

הקיצון של $g^{\prime}$ היכן ש-$g^{\prime\prime}=0$. האקספוננט חיובי, לכן $\;2b + 4b^2x^2 = 0$.

$4b^2x^2 = -2b \;\Rightarrow\; x^2 = -\dfrac{2b}{4b^2} = -\dfrac{1}{2b}$ (חיובי כי $b<0$).

נסמן $\;x_0 = \sqrt{-\dfrac{1}{2b}}$, אז הקיצון ב-$\;x = \pm x_0$.

ב-$x=-x_0$: $g^{\prime}$ עולה ואז יורדת — מקסימום.

ב-$x=+x_0$: $g^{\prime}$ יורדת ואז עולה — מינימום.

עם $\;b = -\tfrac{1}{2}$: נקודות הקיצון של $g^{\prime}$ ב-$\;x = \pm\sqrt{-\dfrac{1}{2\cdot(-\frac12)}} = \pm\sqrt{1} = \pm 1$. אלו הישרים $x=-1$ ו-$x=1$.

$g^{\prime}$ אי-זוגית: בתחום $[-1,0]$ חיובית ובתחום $[0,1]$ שלילית — שני החצאים שווים בשטח.

השטח $= 2\displaystyle\int_0^1 \bigl(-g^{\prime}(x)\bigr)\,dx = -2\Bigl[\,g(x)\,\Bigr]_0^1 = -2\bigl(g(1) - g(0)\bigr)$.

השטח $= -2\bigl(0 - (\sqrt{e} - 1)\bigr) = 2(\sqrt{e} - 1) \approx 1.297$.