קיץ 2021 · מועד ב

נציב $\;t = z^2$: $\;t^2 - 2t + 4 = 0$.

נחזור להצבה. ענף ראשון: $\;z^2 = 1 + \sqrt{3}\,i$. נכתוב $z = x + yi$:

מהמשוואה השנייה: $\;y = \dfrac{\sqrt{3}}{2x}$. נציב בראשונה: $\;x^2 - \dfrac{3}{4x^2} = 1$.

נכפול ב-$4x^2$: $\;4x^4 - 4x^2 - 3 = 0$.

נציב $\;x^2 = u$: $\;4u^2 - 4u - 3 = 0 \;\Rightarrow\; u = \dfrac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{8} = \dfrac{4 \pm 8}{8}$.

$x^2 = \dfrac{3}{2}\;$ או $\;x^2 = -\dfrac{1}{2}$. מכיוון ש-$x$ ממשי, נפסל $\;x^2 = -\dfrac{1}{2}$.

$x = \pm\sqrt{\dfrac{3}{2}}$, ו-$\;y = \dfrac{\sqrt{3}}{2x}$ נותן $\;y = \pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ (באותו סימן כמו $x$).

שני שורשים מענף זה: $\;z = \sqrt{\tfrac{3}{2}} + \tfrac{\sqrt{2}}{2}i\;$ ו-$\;z = -\sqrt{\tfrac{3}{2}} - \tfrac{\sqrt{2}}{2}i$.

ענף שני: $\;z^2 = 1 - \sqrt{3}\,i\;$ (צמוד) נותן $\;2xy = -\sqrt{3}$, כלומר $x$ ו-$y$ בסימנים מנוגדים.

עוד שני שורשים: $\;z = \sqrt{\tfrac{3}{2}} - \tfrac{\sqrt{2}}{2}i\;$ ו-$\;z = -\sqrt{\tfrac{3}{2}} + \tfrac{\sqrt{2}}{2}i$.

ארבע הנקודות: $\;\bigl(\sqrt{\tfrac{3}{2}},\,\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)$, $\bigl(-\sqrt{\tfrac{3}{2}},\,\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)$, $\bigl(-\sqrt{\tfrac{3}{2}},\,-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)$, $\bigl(\sqrt{\tfrac{3}{2}},\,-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)$.

הן סימטריות לשני הצירים וצלעותיהן מקבילות לצירים — לכן המצולע הוא מלבן.

רוחב (כיוון ממשי): $\;2\sqrt{\tfrac{3}{2}}$. גובה (כיוון מדומה): $\;2\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

מהמשוואה $\;(az^2 + b)(z+1) = 0$: $\;z = -1$ (ממשי), או $\;az^2 + b = 0 \Rightarrow z^2 = -\dfrac{b}{a}$.

שני הפתרונות המדומים מקיימים $\;z^2 = -\dfrac{b}{a}$. נכתוב $z = x + yi$:

הפתרונות מדומים טהורים, כלומר $\;x = 0$, ולכן: $\;-y^2 = -\dfrac{b}{a} \;\Rightarrow\; y^2 = \dfrac{b}{a}$.

$y$ ממשי ושונה מאפס, לכן $\;y^2 > 0$, ומכאן $\;\dfrac{b}{a} > 0$.

נכפול ב-$a^2 > 0$: $\;\dfrac{b}{a}\cdot a^2 = ab > 0$. מש״ל

מהגורם $\;z + 1 = 0$: $\;z = -1$.

מהגורם $\;az^2 + b = 0$: $\;z^2 = -\dfrac{b}{a}$. מכיוון ש-$\dfrac{b}{a} > 0$ (סעיף ג), $\;z^2 < 0$:

הערך המוחלט של פתרונות משוואה (I): $\;|z| = \Bigl|\sqrt{\tfrac{3}{2}} + \tfrac{\sqrt{2}}{2}i\Bigr| = \sqrt{\tfrac{3}{2} + \tfrac{1}{2}} = \sqrt{2}$.

הרדיוס גדול פי שניים: $\;R = 2\sqrt{2}$. הפתרונות המדומים של (II) הם $\;(0,\,\pm 2\sqrt{2})$.

הערך המוחלט של פתרון מדומה של (II): $\;\bigl|\pm\sqrt{\tfrac{b}{a}}\,i\bigr| = \sqrt{\dfrac{b}{a}}$.

נשווה לרדיוס: $\;\sqrt{\dfrac{b}{a}} = 2\sqrt{2}$.

נעלה בריבוע: $\;\dfrac{b}{a} = (2\sqrt{2})^2 = 8$.