קיץ 2021 · מועד א

תנאי $\ln$: הביטוי חיובי — $\;\dfrac{x^2-1}{(x+2)(x-1)} > 0$

נקודות קריטיות: $\;x^2-1=0 \Rightarrow x=\pm1$

המכנה מתאפס ב-$x=-2$ וב-$x=1$

טבלת סימן (ראה תרשים): הביטוי חיובי ב-$x<-2$ וב-$x>-1$

מחריגים $x=1$ (במקור $0/0$), לכן התחום: $\;x<-2$ או $-1<x<1$ או $x>1$

$x\to -2^-:\;\; \dfrac{x+1}{x+2}\to+\infty \;\Rightarrow\; f\to+\infty$ — אסימפטוטה $x=-2$

$x\to -1^+:\;\; \dfrac{x+1}{x+2}\to 0^+ \;\Rightarrow\; f\to-\infty$ — אסימפטוטה $x=-1$

$x\to\pm\infty:\;\; \dfrac{x+1}{x+2}\to 1 \;\Rightarrow\; f\to\ln 1 = 0$ — אסימפטוטה $y=0$

ב-$x=1$ אין אסימפטוטה — המנה שואפת ל-$\tfrac{2}{3}$, זהו חור בגרף.

נפרק את הלוג: $\;f(x) = \ln(x+1) - \ln(x+2)$

טבלת סימן (ראה תרשים): בכל תחום ההגדרה $(x+1)(x+2) > 0$, לכן $f' > 0$

$f$ עולה ממש בכל תחום ההגדרה, אין ירידה ואין קיצון

מאפיינים: תחום $x<-2$ או $-1<x<1$ או $x>1$; אסימפטוטות $x=-2,\,x=-1,\,y=0$; עולה בכל ענף.

ענף שמאלי ($x<-2$): עולה מ-$0$ ל-$+\infty$, כולו חיובי.

ענף ימני ($x>-1$): עולה מ-$-\infty$ ל-$0$, כולו שלילי; חיתוך ציר $y$ ב-$(0,-\ln 2)$; חור ב-$\bigl(1,\,\ln\tfrac{2}{3}\bigr)$.

$g = \ln(f)$ מוגדרת כאשר $f(x) > 0$, כלומר $\ln\dfrac{x+1}{x+2} > 0$

שקול ל-$\dfrac{-1}{x+2} > 0$

כלומר $x < -2$

$g'(x) = \dfrac{f'(x)}{f(x)}$ (כלל השרשרת)

ב-$x<-2$: $\;f > 0$ (הגדרת $g$) ו-$f' = \dfrac{1}{(x+1)(x+2)} > 0$ (א3) $\;\Rightarrow\; g' > 0$

$g$ עולה ממש בכל תחום ההגדרה $x<-2$, אין קיצון

$g$ עולה ממש ב-$x<-2$ (מסעיף ב2).

$x\to-2^-:\;\; f\to+\infty \;\Rightarrow\; g\to+\infty$ — אסימפטוטה $x=-2$

$0 < f < 1 \;\Rightarrow\; f > 0$ וגם $g = \ln f < 0$ (לוג של מספר ב-$(0,1)$ שלילי)

$f\cdot g = (+)\cdot(-) < 0$ — המכפלה שלילית, אינה חיובית.