קיץ 2021 · מועד א

$\vec{SC} = \vec{SA} + \vec{AC} = -\vec w + (\vec u + \vec v)$

$\vec{ES} = -t\,\vec{SC} = -t\vec u - t\vec v + t\vec w$

$\vec{EB} = \vec{ES} + \vec{SA} + \vec{AB} = (-t\vec u - t\vec v + t\vec w) - \vec w + \vec u$

$\vec{EB} = (1-t)\vec u - t\vec v + (t-1)\vec w$

$\vec{ED} = \vec{ES} + \vec{SA} + \vec{AD} = (-t\vec u - t\vec v + t\vec w) - \vec w + \vec v$

$\vec{ED} = -t\vec u + (1-t)\vec v + (t-1)\vec w$

$\vec{ED} = \tfrac12(-\vec u + \vec v - \vec w)$

$\vec u\cdot\vec v = q\cos 60° = \tfrac{q}{2}$

$\vec{EB}\cdot\vec{ED} = \tfrac14(\vec u - \vec v - \vec w)\cdot(-\vec u + \vec v - \vec w)$

$= \tfrac14\left(-|\vec u|^2 - |\vec v|^2 + |\vec w|^2 + 2\,\vec u\cdot\vec v\right)$

$= \tfrac14\left(-q - q + q + 2\cdot\tfrac{q}{2}\right) = 0$

$\vec{EB}\cdot\vec{ED} = 0 \Rightarrow \vec{EB} \perp \vec{ED}$

$|\vec{AB}| = \sqrt{(6\sqrt 3)^2 + 6^2} = \sqrt{108 + 36} = \sqrt{144} = 12$

$(a,b,c)\cdot(0,0,12) = 12c = 0 \Rightarrow c = 0$

$(a,b,c)\cdot(6\sqrt 3, 6, 0) = 6\sqrt 3\,a + 6b = 0 \Rightarrow b = -\sqrt 3\,a$