קיץ 2021 · מועד א

$x\to-\infty:\;\; f\to\infty$ — אין אסימפטוטה

אנכית: אין ($f$ מוגדרת לכל $x$)

$f'(x) = -2a\,e^{-2x} < 0$ לכל $x$ (כי $a > 0$)

$f$ יורדת ממש לכל $x$ ממשי — אין קיצון

ציר $y$: $\;f(0) = 1 + a \;\Rightarrow\; (0,\,1+a)$

ציר $x$: $\;1 + ae^{-2x} = 0 \Rightarrow e^{-2x} = -\tfrac{1}{a}$ — אין פתרון (אגף שמאל חיובי)

$f(x) = 1 + ae^{-2x} > 1 > 0$ לכל $x$

$f$ לעולם לא מתאפסת $\;\Rightarrow\; g = \tfrac{1}{f}$ מוגדרת לכל $x$

$x\to+\infty:\;\; f\to 1 \;\Rightarrow\; g\to 1$ — אסימפטוטה $y=1$

$x\to-\infty:\;\; f\to\infty \;\Rightarrow\; g\to 0$ — אסימפטוטה $y=0$

אנכית: אין

נקודת פיתול: $\;\bigl(\tfrac{\ln a}{2},\,\tfrac{1}{2}\bigr)$

הגרף: סיגמואיד עולה מ-$0$ ל-$1$, חוצה $y=\tfrac12$ בפיתול (ראה סקיצה).

הקיצון של $g'$ = הפיתול של $g$: $\;x = \tfrac{\ln a}{2}$ (שם $ae^{-2x} = 1$)

$g' > 0$ בכל מקום ו-$g'\to 0$ בקצוות, ולכן מקסימום

$g'(x) = \dfrac{2a\,e^{-2x}}{(1+a\,e^{-2x})^2} > 0$ לכל $x$ — הגרף כולו מעל ציר $x$

בקצוות $x\to\pm\infty:\;\; g'\to 0$ — אסימפטוטה $y=0$

מקסימום יחיד $\bigl(\tfrac{\ln a}{2},\tfrac12\bigr)$ (מסעיף ג1) — עקומת פעמון

בקטע $\bigl[0,\,\tfrac{\ln a}{2}\bigr]$ מתקיים $g' \le \tfrac12$ — השטח כלוא בין $y=\tfrac12$ לעקומה.