קיץ 2025 · מועד א

הקשר שאפשר לקרוא ישירות: הנגזרת חיובית בדיוק בתחומי העלייה של הפונקציה, ושלילית בתחומי הירידה.

בכל קטע שבו גרף I נמצא מעל ציר $x$, גרף II עולה; ובכל קטע שבו I מתחת לציר, II יורד.

נוסף על כך, נקודות החיתוך של גרף I עם ציר $x$ נופלות בדיוק על נקודות הקיצון של גרף II.

לכן I היא הנגזרת של II:

$f =$ גרף II, וגם $f' =$ גרף I

המכנה $1+\sin^2x \ge 1 > 0$ תמיד, ולכן השבר מתאפס רק כשהמונה מתאפס:

$\sin x = 0 \;\Rightarrow\; x = \pi k$

בתחום $0\le x\le 2\pi$: $x = 0,\;\pi,\;2\pi$

נקודות החיתוך: $(0,0)$, $(\pi,0)$, $(2\pi,0)$

כלל המנה, עם $u=\sin x$ ($u'=\cos x$) ועם $v=1+\sin^2x$ ($v'=2\sin x\cos x$):

גורם משותף $\cos x$: $f'(x) = \dfrac{\cos x\left(1-\sin^2 x\right)}{\left(1+\sin^2x\right)^2}$

הסוגריים הם $\cos^2x$: $f'(x) = \dfrac{\cos^3 x}{\left(1+\sin^2x\right)^2}$

המכנה חיובי תמיד, ולכן הסימן של $f'$ הוא הסימן של $\cos x$. איפוס:

$\cos x = 0 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{\pi}{2},\;\dfrac{3\pi}{2}$

טבלת הסימנים:

בנקודה $\frac{\pi}{2}$ הסימן עובר מחיובי לשלילי (מקסימום), ובנקודה $\frac{3\pi}{2}$ משלילי לחיובי (מינימום).

ערכי הפונקציה:

$f\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = \dfrac{1}{1+1} = \dfrac12$

$f\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right) = \dfrac{-1}{2} = -\dfrac12$

$f(0)=f(2\pi)=0$

סיווג (התחום סגור, ולכן הקצוות הם קיצון קצה; ליד שני הקצוות הפונקציה עולה):

$\left(\tfrac\pi2,\tfrac12\right)$ מקסימום

$\left(\tfrac{3\pi}2,-\tfrac12\right)$ מינימום

$(0,0)$ מינימום קצה, $(2\pi,0)$ מקסימום קצה

$g(x)=0$ בדיוק כאשר $f(x) = 0.4$:

$\dfrac{\sin x}{1+\sin^2x} = 0.4 \;\Rightarrow\; \sin x = 0.4 + 0.4\sin^2x$

סידור: $0.4\sin^2x - \sin x + 0.4 = 0\;\;\;\Big/\cdot 2.5$

אחרי הכפל: $\sin^2x - 2.5\sin x + 1 = 0$

נוסחת השורשים: $\sin x = \dfrac{2.5\pm 1.5}{2}$

הפתרון $\sin x = 2$ נפסל (כי $-1\le\sin x\le 1$), ונשאר $\sin x = 0.5$

בתחום $0\le x\le 2\pi$:

$x = \dfrac{\pi}{6}$

וגם $x = \dfrac{5\pi}{6}$

שלב 1, הזזה: הגרף של $f-0.4$ הוא גרף $f$ מוזז כלפי מטה בשיעור $0.4$. ערכיו בנקודות המפתח:

$f(0)-0.4 = -0.4$

$f\!\left(\tfrac\pi2\right)-0.4 = 0.1$

$f\!\left(\tfrac{3\pi}2\right)-0.4 = -0.9$

$f(2\pi)-0.4 = -0.4$

הוא מתאפס בנקודות $x=\tfrac{\pi}{6}$, $x=\tfrac{5\pi}{6}$ (סעיף ג), וחיובי רק ביניהן.

שלב 2, ערך מוחלט: כל מה שמתחת לציר $x$ משתקף כלפי מעלה. בשתי נקודות האיפוס הגרף נוגע בציר ו"נשבר".

הערכים המשוקפים:

$|-0.4| = 0.4$ (בקצוות)

$|-0.9| = 0.9$ (בנקודה $\tfrac{3\pi}{2}$)

התוצאה (ראו סקיצה): מתחיל בגובה $0.4$, יורד אל $0$ בנקודה $\tfrac\pi6$, עולה אל $0.1$ בנקודה $\tfrac\pi2$, יורד אל $0$ בנקודה $\tfrac{5\pi}6$, עולה לשיא $0.9$ בנקודה $\tfrac{3\pi}2$, ויורד אל $0.4$ בנקודה $2\pi$.

טבלת הסימנים. בכל קטע הסימן של $g'$ הוא הסימן של $f(x)-0.4$ (סעיף ג: חיובי רק בין שתי נקודות האיפוס) כפול הסימן של $f'(x)$ (סעיף ב(2)):

שתי נקודות המגע בציר הן מינימום (ערך מוחלט אינו שלילי):

$\left(\dfrac{\pi}{6},\,0\right)$ מינימום

$\left(\dfrac{5\pi}{6},\,0\right)$ מינימום

בין נקודות האיפוס הביטוי $f-0.4$ חיובי ולא משתקף, ולכן המקסימום של $f$ נשאר מקסימום:

$\left(\dfrac{\pi}{2},\,0.1\right)$ מקסימום

מחוץ לקטע הזה $f-0.4$ שלילי ומשתקף, ולכן הסוג מתהפך. המינימום של $f$ בנקודה $\tfrac{3\pi}2$ הופך למקסימום של $g$:

$\left(\dfrac{3\pi}{2},\,0.9\right)$ מקסימום

הקצוות (התחום סגור): $g(0)=g(2\pi)=0.4$. לפי הטבלה $g$ יורדת מימין לנקודה $0$, ויורדת גם בדרך אל $2\pi$:

$(0,\,0.4)$ מקסימום קצה

$(2\pi,\,0.4)$ מינימום קצה