קיץ 2025 · מועד א

בסיס $n=1$:

הסכום: $2^2=4$

הנוסחה: $\dfrac{2\cdot 1\cdot 3\cdot 2}{3}=4$ ✓

הנחה (עבור $n=k$):

צעד (עבור $n=k+1$), מוסיפים את האיבר $\big(2(k+1)\big)^2 = 4(k+1)^2$:

גורם משותף $2(k+1)$ במונה:

פירוק הטרינום: $2k^2+7k+6 = (2k+3)(k+2)$

ולכן הסכום: $\dfrac{2(k+1)(2k+3)(k+2)}{3}$

זו הנוסחה עבור $n=k+1$, כי $2(k+1)+1=2k+3$

וגם $(k+1)+1=k+2$.

הבסיס נכון, ומנכונות הטענה עבור $n=k$ נובעת נכונותה עבור $n=k+1$, ולכן הטענה נכונה לכל $n$ טבעי. מש״ל

האיבר האחרון: $(2n)^2 = 90^2$

ולכן $2n = 90$, כלומר $n = 45$.

הנוסחה מסעיף (1) עם $n=45$:

מצמצמים: $30\cdot 91\cdot 46 = 125{,}580$

הסכום המבוקש מתחיל באיבר $4^2$, ולכן מחסרים את האיבר הראשון $2^2 = 4$:

נסרטט לפי הנתונים, ונסמן $\angle BAO = \angle CDO = \alpha$ (נתון):

האלכסון $AC$ חותך את הישרים המקבילים $AB \parallel CD$:

$\angle DCO = \angle BAO = \alpha$ (זוויות מתחלפות)

האלכסון $BD$ חותך את הישרים המקבילים $AB \parallel CD$:

$\angle ABO = \angle CDO = \alpha$ (זוויות מתחלפות)

במשולש $ABO$: $\angle BAO = \angle ABO$

ולכן $OA = OB$ (מול זוויות שוות צלעות שוות)

במשולש $DCO$: $\angle CDO = \angle DCO$

ולכן $OC = OD$ (מול זוויות שוות צלעות שוות)

הנקודה $O$ על שני האלכסונים:

טרפז שאלכסוניו שווים הוא טרפז שווה שוקיים. מש״ל

מסעיף (1): $OA=OB=9$, וגם $OC=OD=12$.

המשולש $DOC$ ישר זווית בקודקוד $O$ (האלכסונים מאונכים), לפי משפט פיתגורס:

$DC = \sqrt{12^2+12^2} = 12\sqrt2$

האלכסון: $BD = BO + OD = 9 + 12 = 21$

במשולש $BDC$ מתקיים $OF \parallel DC$, ולכן $\triangle BOF \sim \triangle BDC$ (ישר מקביל לצלע במשולש):

$\dfrac{OF}{DC} = \dfrac{BO}{BD} = \dfrac{9}{21} = \dfrac37$

מכאן: $OF = \dfrac37\cdot 12\sqrt2 = \dfrac{36\sqrt2}{7} \approx 7.27$

הקשר שקוראים מן הסרטוט: נקודות הקיצון של פונקציה הן בדיוק נקודות החיתוך של נגזרתה עם ציר $x$.

נקודות הקיצון של גרף II נמצאות באותם שיעורי $x$ שבהם גרף III חוצה את ציר $x$, ולכן III הוא הנגזרת של II.

נקודות הקיצון של גרף III נמצאות באותם שיעורי $x$ שבהם גרף I חוצה את ציר $x$, ולכן I הוא הנגזרת של III.

שרשור: $\text{III} = (\text{II})'$

וגם: $\text{I} = (\text{III})'$

ולכן $f = \text{II}$, $f' = \text{III}$, $f'' = \text{I}$.

בדיקה מול סעיף ג(3): נקודת המקסימום של $f$ היא $(a,15)$, ואכן לגרף II מקסימום יחיד בערך חיובי גדול. ✓

נקודת פיתול של $f$ היא נקודה שבה $f''$ מתאפסת ומחליפה סימן.

מסעיף (1) הפונקציה $f''$ היא גרף I, והוא חוצה את ציר $x$ בשלוש נקודות (בכל אחת מהן מחליף סימן).

לכן לפונקציה $f$ יש שלוש נקודות פיתול.

(בדיקה בדרך שנייה: נקודות הפיתול של $f$ הן נקודות הקיצון של $f'$, ולגרף III יש שלוש נקודות קיצון.)

התחום: מציר $y$ עד הישר $x=a$, כלומר $0 \le x \le a$. בתחום זה גרף $f'$ נמצא מעל גרף $f''$.

הפונקציה הקדומה של $f'$ היא $f$, ושל $f''$ היא $f'$ (אין צורך בנוסחאות עצמן):

הצבת הגבולות: $S = \big(f(a) - f'(a)\big) - \big(f(0) - f'(0)\big)$

$f(a) = 15$ (המקסימום הנתון)

$f'(a) = 0$ (בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת)

$f(0) = 12$, וגם $f'(0) = 6$ (החיתוך עם ציר $y$ בגרף II ובגרף III)

המכנה $\left(x^2+2x\right)^2$ הוא ריבוע, ולכן חיובי בכל תחום ההגדרה.

לכן הסימן של $f$ הוא הסימן של המונה $2(x+1)$:

$f(x) > 0 \;\Rightarrow\; x+1 > 0 \;\Rightarrow\; x > -1$

מוציאים את הנקודה $x=0$ (מחוץ לתחום ההגדרה). הנקודה $x=-2$ ממילא אינה בתחום $x>-1$.

תחומי החיוביות: $-1<x<0$, וגם $x>0$.

אסימפטוטות אנכיות (שם המכנה מתאפס): $x=-2$, וגם $x=0$.

ליד $x=-2$: המכנה שואף אל $0^{+}$ (ריבוע), והמונה $2(-2+1) = -2 < 0$

ולכן $f\to -\infty$ משני הצדדים.

ליד $x=0$: המכנה שואף אל $0^{+}$, והמונה $2(0+1) = 2 > 0$

ולכן $f\to +\infty$ משני הצדדים.

חיתוך יחיד עם ציר $x$ בנקודה $x=-1$ (המונה מתאפס).

כאשר $x\to\pm\infty$ מתקיים $f\to 0$, כלומר אסימפטוטה אופקית $y=0$.

יחד עם תחומי החיוביות מסעיף (1): הגרף היחיד שבו ליד האסימפטוטה השמאלית שני הענפים יורדים, וליד הימנית שניהם עולים, הוא III.

לפי סעיף (1): $f>0$ בכל התחום $1\le x\le 3$, ולכן השטח הוא האינטגרל עצמו.

המונה הוא הנגזרת של הביטוי שבמכנה: $\left(x^2+2x\right)' = 2x+2 = 2(x+1)$

נסמן $u = x^2+2x$:

הצבת הגבולות: $S = \dfrac{-1}{9+6} - \dfrac{-1}{1+2} = -\dfrac{1}{15} + \dfrac13$

מכנה משותף: $S = \dfrac{-1+5}{15} = \dfrac{4}{15} \approx 0.267$