קיץ 2025 · מועד א

מהנתון השני: $\dfrac{a_4}{a_2} = q^2 = 4$

ולכן $q = 2$ או $q = -2$.

מציבים $a_4 = a_2q^2 = 4a_2$ בנתון הראשון:

$2a_2 + 8 = 4a_2 \;\Rightarrow\; 2a_2 = 8 \;\Rightarrow\; a_2 = 4$

האיבר השלישי: $a_3 = a_2 q = 4q$

עבור $q=2$: $a_3 = 8$

עבור $q=-2$: $a_3 = -8$

סדרה הנדסית שאינה עולה ואינה יורדת היא סדרה שסימני איבריה מתחלפים, ולכן $q<0$.

מסעיף א: $q = -2$, ולכן $a_1 = \dfrac{a_2}{q} = \dfrac{4}{-2} = -2$

היחס בין איברים עוקבים בסדרה $B$:

בסדרה הנדסית $a_{n+2} = a_n q^2$, ולכן:

$\dfrac{b_{n+1}}{b_n} = \dfrac{1}{q^2} = \dfrac{1}{4}$

היחס קבוע ואינו תלוי במספר האיבר $n$, ולכן $B$ הנדסית שמנתה $\dfrac14$. מש״ל

(החלוקה חוקית: איברי סדרה הנדסית שונים מאפס, ולכן גם $b_n\neq 0$.)

האיבר הראשון: $c_1 = \dfrac{k}{a_1a_2}$

האיבר השני: $c_2 = \dfrac{k}{a_3a_4}$

המכפלה במכנה קופצת שני מקומות: $a_3 = a_1q^2$, וגם $a_4 = a_2q^2$

ולכן $a_3a_4 = a_1a_2\,q^4$

מנת הסדרה: $q_C = \dfrac{c_2}{c_1} = \dfrac{a_1a_2}{a_3a_4} = \dfrac{1}{q^4}$

מסעיף ב $q=-2$, ולכן: $q_C = \dfrac{1}{(-2)^4} = \dfrac{1}{16}$

מסעיף ג(1): $q_C = \dfrac{1}{16}$, כלומר $0<q_C<1$ (הערכים המוחלטים של האיברים קטֵנים).

סדרה כזו עולה אם ורק אם איבריה שליליים (מתקרבים לאפס מלמטה), כלומר $c_1<0$.

האיבר הראשון: $c_1 = \dfrac{k}{a_1a_2} = \dfrac{k}{(-2)\cdot 4} = -\dfrac{k}{8}$

התנאי: $-\dfrac{k}{8} < 0 \;\Rightarrow\; k>0$

(אם $k<0$ אז $c_1>0$ והסדרה יורדת; $k=0$ נפסל בנתון.)

האיברים הראשונים:

$b_1 = \dfrac{1}{a_1a_2} = \dfrac{1}{(-2)\cdot4} = -\dfrac18$

$c_1 = -\dfrac{k}{8}$ (סעיף ג(2))

סכום הסדרה $B$ (מנה $\tfrac14$):

$S_B = \dfrac{b_1}{1-\tfrac14} = \dfrac{-\tfrac18}{\tfrac34} = -\dfrac16$

סכום הסדרה $C$ (מנה $\tfrac{1}{16}$):

$S_C = \dfrac{c_1}{1-\tfrac{1}{16}} = \dfrac{-\tfrac{k}{8}}{\tfrac{15}{16}} = -\dfrac{2k}{15}$

מציבים בנתון $S_C = 12S_B$:

$-\dfrac{2k}{15} = 12\cdot\left(-\dfrac16\right) = -2$

ולכן $2k = 30$, כלומר $k = 15$.

בדיקה: $k=15>0$, ולכן לפי סעיף ג(2) הסדרה $C$ אכן עולה ✓