קיץ 2025 · מועד א

השורש נמצא במכנה, ולכן נדרש אי-שוויון חזק: $x^2 - a^2 > 0$

פירוק: $(x-a)(x+a) > 0$

פרבולה "מחייכת" עם השורשים $\pm a$, חיובית מחוץ לשורשים:

$x > a$ או $x < -a$

אנכיות: בקצוות תחום ההגדרה המכנה שואף אל $0$ והמונה אל $\pm a \neq 0$:

$x = a$, וגם $x = -a$

אופקיות: מוציאים את $|x|$ מתחת לשורש:

$\dfrac{x}{\sqrt{x^2-a^2}} = \dfrac{x}{|x|\sqrt{1-\tfrac{a^2}{x^2}}}$

כאשר $x\to+\infty$: $|x|=x$, והגבול $\dfrac{1}{\sqrt{1-0}} = 1$

כאשר $x\to-\infty$: $|x|=-x$, והגבול $-1$

אסימפטוטות אופקיות: $y=1$ (מימין), וגם $y=-1$ (משמאל).

תחום ההגדרה $x>a$ או $x<-a$ סימטרי ביחס לראשית, ולכן יש טעם לבדוק.

מציבים $-x$: $f(-x) = \dfrac{-x}{\sqrt{(-x)^2-a^2}} = \dfrac{-x}{\sqrt{x^2-a^2}} = -f(x)$

המכנה לא השתנה כי $(-x)^2 = x^2$, ורק המונה החליף סימן.

לפי ההגדרה הפונקציה אי-זוגית, וגרפה סימטרי ביחס לראשית. מש״ל

כלל המנה, עם $u=x$ ועם $v=\sqrt{x^2-a^2}$, כאשר $v' = \dfrac{x}{\sqrt{x^2-a^2}}$:

מכנה משותף במונה: $f'(x) = \dfrac{\dfrac{\left(x^2-a^2\right) - x^2}{\sqrt{x^2-a^2}}}{x^2-a^2}$

מצמצמים: $f'(x) = \dfrac{-a^2}{\left(x^2-a^2\right)\sqrt{x^2-a^2}}$

טבלת הסימנים (המונה $-a^2<0$ כי $a>0$, והמכנה חיובי בתחום כי $x^2-a^2>0$):

הנגזרת שלילית בשני הענפים, ולכן הפונקציה יורדת בכל תחום ההגדרה ואין לה תחומי עלייה.

מאיזה צד מתקרבים לאסימפטוטות האופקיות? בתחום ההגדרה $\sqrt{x^2-a^2} < |x|$, ולכן:

$|f(x)| = \dfrac{|x|}{\sqrt{x^2-a^2}} > 1$

הענף הימני כולו מעל הישר $y=1$, והשמאלי כולו מתחת לישר $y=-1$.

ענף ימני $(x>a)$:

כאשר $x\to a^{+}$ המכנה שואף אל $0^{+}$, ולכן $f\to+\infty$

כאשר $x\to+\infty$: $f\to1^{+}$

יורד לכל אורכו (סעיף ג).

ענף שמאלי $(x<-a)$:

כאשר $x\to-\infty$: $f\to-1^{-}$

כאשר $x\to -a^{-}$ המונה שלילי והמכנה שואף אל $0^{+}$, ולכן $f\to-\infty$

גם הוא יורד.

הפונקציה אי-זוגית (סעיף ב), ולכן שני הענפים סימטריים ביחס לראשית (ראו סקיצה).

(אין חיתוך עם הצירים: $f(x)=0$ רק כאשר $x=0$, והנקודה $x=0$ אינה בתחום ההגדרה.)

מפשטים תחילה: $\big(f(x)\big)^2 = \dfrac{x^2}{x^2-a^2}$

ולכן $g(x) = \dfrac{x^2-a^2}{x^2} = 1 - \dfrac{a^2}{x^2}$

גוזרים: $g'(x) = -a^2\cdot\left(x^{-2}\right)' = \dfrac{2a^2}{x^3}$

טבלת הסימנים (המונה $2a^2>0$, ולכן הסימן של $g'$ הוא הסימן של $x^3$):

עולה בתחום $x>a$, יורדת בתחום $x<-a$.

(אין נקודות קיצון: $g'$ אינה מתאפסת, והנקודה $x=0$ אינה בתחום ההגדרה.)

מסעיף ה(1): $g(x) = 1 - \dfrac{a^2}{x^2}$.

זוגיות: $g(-x) = 1-\dfrac{a^2}{x^2} = g(x)$, ולכן הגרף סימטרי ביחס לציר $y$. זה פוסל כל גרף לא סימטרי.

אין אסימפטוטה אנכית: המכנה $x^2$ מתאפס רק בנקודה $x=0$, שאינה בתחום ההגדרה. זה פוסל כל גרף עם ישרים אנכיים.

בקצוות התחום: כאשר $x\to\pm a$ מתקיים $g\to 1-1 = 0$, אך הנקודות $\pm a$ אינן בתחום, ולכן בנקודות $(\pm a,0)$ יש עיגולים פתוחים על ציר $x$.

באינסוף: $g\to 1$, כלומר אסימפטוטה אופקית $y=1$. בתחום $|x|>a$ מתקיים $0<g<1$.

הגרף היחיד המקיים את כל אלה (סימטרי, בלי אסימפטוטות אנכיות, עם שני עיגולים פתוחים על ציר $x$ ומתקרב אל $y=1$) הוא I.

בתחום $2a \le x \le 3a$ מתקיים $x>a$, ולכן $g>0$ והשטח הוא האינטגרל עצמו.

הצבת הגבולות: $S = \left(3a + \dfrac{a^2}{3a}\right) - \left(2a + \dfrac{a^2}{2a}\right)$

מצמצמים: $S = \left(3a + \dfrac a3\right) - \left(2a + \dfrac a2\right)$

גורם משותף: $S = a\left(1 + \dfrac13 - \dfrac12\right) = \dfrac{5a}{6}$

מהנתון: $\dfrac{5a}{6} = 2.5 \;\Rightarrow\; a = 3$ (מקיים $a>0$ ✓)