קיץ 2024 · מועד א

הביטוי שתחת השורש חייב להיות אי-שלילי: $\cos x\ge0$.

בתחום $-\pi\le x\le\pi$ הקוסינוס אי-שלילי רק ברביע הראשון וברביע הרביעי, כלומר כאשר $-\dfrac{\pi}{2}\le x\le\dfrac{\pi}{2}$.

תחום ההגדרה: $-\dfrac{\pi}{2}\le x\le\dfrac{\pi}{2}$.

הקוסינוס הוא פונקציה זוגית: $\;\cos(-x)=\cos x$.

$f(-x)=\cos x-\sqrt{\cos x}=f(x)$, ותחום ההגדרה סימטרי סביב הראשית, ולכן הפונקציה זוגית. מש״ל

חיתוך עם ציר $y$: $f(0)=\cos0-\sqrt{\cos0}=1-1=0$, הנקודה $(0,0)$.

חיתוך עם ציר $x$: $\cos x-\sqrt{\cos x}=0$, כלומר $\cos x=\sqrt{\cos x}$.

נסמן $t=\sqrt{\cos x}\ge0$: $t^2=t$

$t(t-1)=0$, ולכן $t=0$ או $t=1$.

$t=0$: $\cos x=0$, ולכן $x=\pm\dfrac{\pi}{2}$.

$t=1$: $\cos x=1$, ולכן $x=0$.

נקודות החיתוך: $(0,0)$, וגם $\left(\pm\dfrac{\pi}{2},\,0\right)$.

הנגזרת (כלל השרשרת בשורש): $f'(x)=-\sin x-\dfrac{-\sin x}{2\sqrt{\cos x}}$

מכנה משותף: $f'(x)=\dfrac{\sin x\left(1-2\sqrt{\cos x}\right)}{2\sqrt{\cos x}}$

$f'(x)=0$: $\sin x=0$ או $\sqrt{\cos x}=\dfrac12$.

טבלת הסימנים (המכנה חיובי בתוך התחום, ולכן הסימן נקבע לפי המונה):

מינימום: $(1.32,\,-0.25)$, וגם $(-1.32,\,-0.25)$.

מקסימום: $(0,0)$.

בקצוות: $f\left(\pm\dfrac{\pi}{2}\right)=0$

מהטבלה, $f$ יורדת מהקצה השמאלי ועולה אל הקצה הימני, ולכן $\left(\pm\dfrac{\pi}{2},0\right)$ נקודות מקסימום קצה.

תחום ההגדרה: $-\dfrac{\pi}{2}\le x\le\dfrac{\pi}{2}$. הגרף מתחיל ומסתיים על ציר $x$ (סעיף א(3)).

הפונקציה זוגית, ולכן הגרף סימטרי ביחס לציר $y$.

מקסימום מקומי בנקודה $(0,0)$, ושני מינימומים בנקודות $(\pm1.32,\,-0.25)$.

ערך המקסימום הוא $0$ ושאר הערכים שליליים, ולכן הגרף כולו מתחת לציר $x$ ונוגע בו בשלוש נקודות בלבד.

גורם משותף: $f(x)=\cos x-\sqrt{\cos x}=\sqrt{\cos x}\left(\sqrt{\cos x}-1\right)$

בתחום ההגדרה $0\le\cos x\le1$, ולכן:

$\sqrt{\cos x}\ge0$, וגם $\sqrt{\cos x}-1\le0$

מכפלה של גורם אי-שלילי בגורם אי-חיובי היא אי-חיובית, ולכן $f(x)\le0$ בכל התחום.

חיוביות: אין.

שליליות: $-\dfrac{\pi}{2}<x<\dfrac{\pi}{2}$, פרט לנקודה $x=0$ (שם ובקצוות הפונקציה מתאפסת).

$f$ זוגית, ולכן $f'$ אי-זוגית: הגרף שלה סימטרי ביחס לראשית.

המכנה של $f'(x)=\dfrac{\sin x\left(1-2\sqrt{\cos x}\right)}{2\sqrt{\cos x}}$ שואף לאפס בקצוות התחום.

לכן לגרף $f'$ יש אסימפטוטות אנכיות $x=\pm\dfrac{\pi}{2}$, וזה פוסל את I ואת II (אין בהם אסימפטוטות).

$f'$ מתאפסת בשלוש נקודות: $x=-1.32$, $\;x=0$, $\;x=1.32$. בשני הגרפים הנותרים, III ו־IV, אכן יש שלושה אפסים.

מטבלת הסימנים בסעיף א(4): $f$ יורדת, עולה, יורדת, עולה, כלומר סימני $f'$ הם $-,\,+,\,-,\,+$, בסימטריה מלאה ביחס לראשית.

רק גרף IV סימטרי ביחס לראשית (בגרף III החלק שמשמאל לציר גדול בהרבה מזה שמימינו), ולכן התשובה היא גרף IV.

$f\le0$ בכל התחום (סעיף ג), ולכן $S=-\displaystyle\int_0^{\pi/2}f\,dx$

מזוגיות הפונקציה: $\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}f\,dx=-2S$

$g(x)-f(x)=\left(k-f(x)\right)-f(x)=k-2f(x)$

זה חיובי בכל התחום ($k>0$, וגם $f\le0$), ולכן $g$ מעל $f$.

אורך התחום: $\dfrac{\pi}{2}-\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=\pi$

השטח בין הגרפים: $\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(k-2f\right)dx=k\pi-2\cdot(-2S)=k\pi+4S$

נתון שהשטח הוא $10S$: $k\pi+4S=10S$

מכאן $k\pi=6S$, ולכן $k=\dfrac{6S}{\pi}$