קיץ 2024 · מועד א

נסרטט לפי הנתונים:

נתון $AB=CB$: מיתרים שווים, ולכן הזוויות ההיקפיות הנשענות עליהם שוות. נסמן את כולן $\alpha$:

$\angle BAC=\angle BCA=\angle ADB=\angle BDC=\alpha$

$E$ על המשך $AB$, ולכן $\angle EBC$ היא הזווית החיצונית של המשולש $ABC$ בקודקוד $B$.

זווית חיצונית שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה:

$\angle EBC=\angle BAC+\angle BCA=\alpha+\alpha=2\alpha$

$\angle BDC=\alpha$, ולכן $\angle EBC=2\cdot\angle BDC$. מש״ל

נסרטט עם הנתון החדש ($AC$ חוצה את $\angle ECD$):

$\angle ADC=\angle ADB+\angle BDC=\alpha+\alpha=2\alpha$

$\angle ECA$ היא זווית בין משיק למיתר $AC$, ולכן היא שווה לזווית ההיקפית הנשענת על $AC$ מן הצד השני:

$\angle ECA=\angle ADC=2\alpha$

$AC$ חוצה את $\angle ECD$, ולכן $\angle DCA=\angle ECA=2\alpha$.

במשולש $ACD$: $\angle ADC=\angle DCA=2\alpha$, ולכן המשולש שווה-שוקיים.

מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות, ולכן $AC=AD$. מש״ל

המשולש $ACD$ והקטע $DF$:

הקטע $DF$ (חלק מהאלכסון $BD$) חוצה את $\angle ADC$, כי $\angle ADB=\angle BDC=\alpha$.

משפט חוצה זווית: $\dfrac{AF}{CF}=\dfrac{AD}{CD}$

ולכן גם: $\dfrac{AD}{AF}=\dfrac{CD}{CF}=\dfrac74$

נסמן $AC=AD=7t$ (סעיף (1)).

מהיחס $\dfrac{AD}{AF}=\dfrac74$: $AF=4t$

$CF=AC-AF=3t$

מהנתון $\dfrac{CD}{CF}=\dfrac74$:

$CD=\dfrac74\cdot3t=\dfrac{21t}{4}$

נסרטט את שני המשולשים ואת הגובה מהקודקוד $B$:

למשולשים $ABF$, $CBF$ יש גובה משותף: האנך מהקודקוד $B$ אל הישר $AC$.

הבסיסים $AF$, $CF$ נמצאים שניהם על הישר $AC$, ולכן יחס השטחים שווה ליחס הבסיסים.

נסרטט את המשולשים $ABF$, $CBE$:

$\angle ABD=\angle DCA=2\alpha$ (זוויות היקפיות הנשענות על הקשת $AD$)

מסעיף א: $\angle EBC=2\alpha$, ולכן $\angle ABF=\angle CBE$.

$\angle ECB$ היא זווית בין משיק למיתר $BC$, ולכן $\angle ECB=\angle BAC=\alpha=\angle BAF$.

עם הנתון $AB=CB$: $\triangle ABF\cong\triangle CBE$ (ז.צ.ז), ולכן $S_{CBE}=S_{ABF}=S$.

מסעיף ב(3): $S_{CBF}=\dfrac34 S$.

הקטע $BC$ מחלק את המשולש $AEC$ למשולשים $ABC$, $BEC$, והקטע $BF$ מחלק את המשולש $ABC$ למשולשים $ABF$, $CBF$:

$S_{AEC}=S_{ABF}+S_{CBF}+S_{CBE}=S+\dfrac34S+S=2\dfrac34S$